Integrasjonsspørsmål

[Thor-André]

Nå ble jeg usikker her, når man skal integrere feks:

[tex] \int \frac{1}{-2x+4} [/tex]

Blir svaret da:

[tex] -\frac{1}{2} \cdot ln(-2x+4) + C [/tex]

eller for å spørre mer generelt, må man alltid dele på konstanten foran variabelen i disse tilfellene?

[meCarnival]

Du kan hente ut den halve...

[tex]\int\frac{1}{4-2x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{2-x}dx = \frac{1}{2}\cdot ln|2-x|+C = \frac{ln|2-x|}{2}+C[/tex]

[Markonan]

Jeg hadde løst denne med substitusjon. Blir jo ikke forskjellig, men kanskje fint å se flere måter å løse på?

[tex]\int \frac{1}{4 - 2x}dx[/tex]

[tex]u = 4 - 2x[/tex]

[tex]du = -2dx[/tex]

[tex]dx = -\frac{1}{2}du[/tex]

[tex]\int \frac{1}{u}(-\frac{1}{2})du = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{u} du[/tex]

[tex]-\frac{1}{2}\ln u + C \;\Rightarrow\; -\frac{1}{2}\ln(4 - 2x) + C[/tex]

PS Husk å ta med dx når du skriver et integral.

[meCarnival]

Hvor ligger min feil da?

[gabel]

Får og svare på en tinga han også lurte på,kan en bruke denne formelen her?

Vi kan jo prøve med bokstaver først. Pass på en kun bruker ln utrykked ved x av førstegrad.


[tex]\int{\frac{1}{ax+b}} \quad \quad u = ax+b \\ \int{\frac{1}{u}dx} \quad \quad dx = \frac{du}{a} \\ \frac{1}{a}\int{\frac{1}{u}du} = \frac{1}{a}\ln{|u|}+C =\frac{1}{a}\ln{|ax+b|}+C [/tex]

Litt usikker på om dette holder som bevis?

[gabel]

Hvor ligger min feil da?

Plotta grafene, ser ut som konstanten er forskjellig.

[meCarnival]

Men vil ikke logaritme uttrykket her gi noen forskjellige utslag?

[gabel]

Der den øverste av funksjonene er [tex] -\frac{1}{2}\cdot ln(2-x)[/tex]

[Thor-André]

Takk for alle svar Da konkluderte vi vel med at vi må dele på kontanten foran variablen, eventuelt bare bruke subtitusjon?

[Audunss]

Ja, har du førstegrads logaritme uttrykk deler du på konstanten.

Til MeCarnival: Du satte konstanten foran x som 2, men det er -2, så du må ta og dele på -2, når du integrerer. eventuelt sette -1/2 utenfor og få x-2 under brøkstreken.

[magneam]

Man kan alltid sjekke om integrasjonen er riktig ved å derivere seg tilbake.

[meCarnival]

Men blir jo fortsatt riktig ut da?


[tex]\int \frac{1}{4-2x}dx=\int \frac{1}{2(2-x)}dx=\frac{1}{2} \int \frac{1}{2-x}dx[/tex] evt. [tex]\int \frac{1}{-2(x-2)}dx=-\frac{1}{2} \int \frac{1}{x-2}dx[/tex]

Hvor skjer et ulovlige da?

[Markonan]

[tex]\int \frac{1}{2-x}dx = -\ln(2-x) + C[/tex]

I det første innlegget ditt, glemte du negativt fortegn.

Annet enn det blir det bare forskjellig konstant C.

[meCarnival]

Ja, såklart...

Men slår på kalkis'n og får ut

[tex]\int \frac{1}{2-x}dx=-ln(x-2)+C[/tex] som jeg tenkte var det samme som å ta inn minusen og få [tex]ln(2-x)+C[/tex]

[espen180]

Der går nok ikke. Husk at [tex]-\ln(x)=-1\cdot\ln(x)=\ln\left(\frac{1}{x}\right)[/tex]