En mann med masse m henger i en fallskjerm.
Nedover er positiv retning.
Luftmotstanden = kv, der v er farten
mg - ky' = my''
a) Finn den generelle løsningen på differensiallikningen.
(Jeg vil virkelig forstå dette, så om noen kunne gi meg en god forklaring hadde det vært supert!)
differenaisallikninger
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
OK, dette er vel Newtons 2. lov satt lik tyngdekrafta minus luftmotstanden.pjuus wrote:jeg mener det jeg skrev ;p
altså: mg - ky' = my''
om den kan gjøres om på, er godt mulig
der y er lik posisjonen og y' = v(t) = v og y'' = a(t) = a
da er vel dette rett og slett en 2. ordens homogen diff. likning:
[tex]my" + ky^, - mg=0[/tex]
hvis karakteristiske likning er:
[tex]m\cdot r^2 + k\cdot r - m\cdot g=0[/tex]
med løsningene p og q.
da er generell løsning: [tex]\,\,\,y=A\cdot e^{p t} + B\cdot e^{q t}[/tex]
------------
edit
Last edited by Janhaa on 16/04-2009 20:01, edited 1 time in total.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
[tex]mg - ky^, = my^{,,} [/tex]
Betrakter først den homogene ligninga
[tex]my^{,,}+ky^,=0[/tex]
Vi deler på m og innfører en konstant [tex]c=\frac{k}{m}[/tex] for enkelhetsskyld:
[tex]y^{,,}+cy^,=0[/tex]
Anta løsninger på formen [tex]e^{\lambda t}[/tex]. Innsatt i ligninga får vi:
[tex]\lambda^2+c\lambda=0[/tex] med røtter
[tex]\lambda=0[/tex] og [tex]\lambda=-c[/tex]
Pga. lineariteten vil enhver lineærkombinasjon av løsninger være en løsning, så generelt vil
[tex]y=C_1+C_2e^{-ct}[/tex] være løsning (for konstanter [tex]C_1[/tex] og [tex]C_2[/tex]).
Siden den opprinnelige ligningen har et kildeledd vil det være naturlig å anta en partikulærløsning på formen [tex]C_3t[/tex].
(Vi må "jekke opp" med en t siden en konstant allerede er løsning av homogen ligning)
Setter vi inn partikulærløsningen i den opprinnelige ligningen får vi
[tex]kC_3=mg[/tex], så [tex]C_3=\frac{mg}{k}[/tex].
Dette fører til slutt til generell løsning
[tex]y=C_1+C_2e^{-\frac{k}{m}t}+\frac{mg}{k}t[/tex].
Verifikasjon av løsning:
Derivasjon to ganger gir
[tex]y^,=-\frac{kC_2}{m}e^{-\frac{k}{m}t}+\frac{mg}{k}[/tex]
[tex]y^{,,}=\frac{k^2C_2}{m^2}e^{-\frac{k}{m}t}[/tex]
[tex]\Rightarrow my^{,,}+ky^,=mg[/tex].
Dette stemmer:D
Betrakter først den homogene ligninga
[tex]my^{,,}+ky^,=0[/tex]
Vi deler på m og innfører en konstant [tex]c=\frac{k}{m}[/tex] for enkelhetsskyld:
[tex]y^{,,}+cy^,=0[/tex]
Anta løsninger på formen [tex]e^{\lambda t}[/tex]. Innsatt i ligninga får vi:
[tex]\lambda^2+c\lambda=0[/tex] med røtter
[tex]\lambda=0[/tex] og [tex]\lambda=-c[/tex]
Pga. lineariteten vil enhver lineærkombinasjon av løsninger være en løsning, så generelt vil
[tex]y=C_1+C_2e^{-ct}[/tex] være løsning (for konstanter [tex]C_1[/tex] og [tex]C_2[/tex]).
Siden den opprinnelige ligningen har et kildeledd vil det være naturlig å anta en partikulærløsning på formen [tex]C_3t[/tex].
(Vi må "jekke opp" med en t siden en konstant allerede er løsning av homogen ligning)
Setter vi inn partikulærløsningen i den opprinnelige ligningen får vi
[tex]kC_3=mg[/tex], så [tex]C_3=\frac{mg}{k}[/tex].
Dette fører til slutt til generell løsning
[tex]y=C_1+C_2e^{-\frac{k}{m}t}+\frac{mg}{k}t[/tex].
Verifikasjon av løsning:
Derivasjon to ganger gir
[tex]y^,=-\frac{kC_2}{m}e^{-\frac{k}{m}t}+\frac{mg}{k}[/tex]
[tex]y^{,,}=\frac{k^2C_2}{m^2}e^{-\frac{k}{m}t}[/tex]
[tex]\Rightarrow my^{,,}+ky^,=mg[/tex].
Dette stemmer:D
En 2.ordens inhomogen diff.ligning er generelt på formen
[tex]y^{,,}+ay^,+by=f(t)[/tex].
Dersom f(t) er konstant er det "vanlig" å anta at partikulærløsningen er en konstant, men siden den homogene løsningen inneholder et konstantledd også, er det "naturlig" å teste en ny løsning der vi har ganga med t.
Jeg vet ikke hvor mye du kan om diff.ligninger, men slike ting kommer av seg selv med endel øvelse.
[tex]y^{,,}+ay^,+by=f(t)[/tex].
Dersom f(t) er konstant er det "vanlig" å anta at partikulærløsningen er en konstant, men siden den homogene løsningen inneholder et konstantledd også, er det "naturlig" å teste en ny løsning der vi har ganga med t.
Jeg vet ikke hvor mye du kan om diff.ligninger, men slike ting kommer av seg selv med endel øvelse.