Det er innen et bestemt område 65 000 fugler i dag. Antall fugler y=f(t) i tusen tenkes å være en løsning av denne differensiallikningen:
y' = [tex]0,10y\cdot\(1-\frac{y}{195})[/tex]
Jeg kommet så langt:
y' = [tex]0,10y\cdot\(1-\frac{y}{195})[/tex]
y' = [tex]0,10y\cdot\(1-\frac{y}{195})|\cdot195[/tex]
195y' = [tex]0,10y\cdot\(195-y)[/tex]
[tex]\frac{1}{y}\cdot[/tex] 195y' = [tex]0,10\cdot\(195-y)[/tex]
[tex]\frac{1}{195-y}\cdot\frac{1}{y}\cdot[/tex] 195y' = [tex]0,10[/tex]
[tex]\frac{1}{(195-y)\cdot(y)}\cdot[/tex]195y' = 0,10
[tex]\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}\frac{dy}{dt}[/tex] = 0,10 [tex]|\cdot(dt)[/tex]
[tex]\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}dy[/tex] = 0,10 dt
[tex]\int\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}dy[/tex] = [tex]\int{0,10} dt[/tex]
[tex]\int\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}dy[/tex] = [tex]0,10\cdot(t) + C[/tex]
Utfører nå en delbrøkoppspalting:
[tex]\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}[/tex] = [tex]\frac{A}{195-y}+\frac{B}{y}[/tex]
[tex]\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}[/tex] = [tex]\frac{A}{195-y}+\frac{B}{y}[/tex] [tex]|\cdot(195-y)\cdot y[/tex]
[tex]195=A\cdot y + B\cdot (195-y)[/tex]
Setter y = 195:
[tex]195=195A[/tex] --> A = [tex]\frac{195}{195}[/tex] = 1
Setter så y = 0:
[tex]195=195B[/tex] --> B =[tex]\frac{195}{195}[/tex] = 1
[tex]\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}[/tex] = [tex]\frac{1}{195-y}+\frac{1}{y}[/tex]
Integerer så den oppspaltede formen av brøken:
[tex]\int \frac{1}{y}+\frac{1}{195-y}[/tex]
[tex] = ln|y| - ln|195-y|[/tex]
Setter så dette inn igjen ved
[tex]ln|y| - ln|195-y| = 0,10\cdot(t) + C[/tex]
[tex]ln|\frac{y}{195-y}| = 0,10\cdot(t) + C[/tex]
[tex]e^{ln|\frac{y}{195-y}|} = e^{0,10\cdot(t) + C}[/tex]
[tex] |\frac{y}{195-y}| = e^{C}\cdot e^{0,10}[/tex]
[tex]\frac{y}{195-y} = [/tex][symbol:plussminus][tex] e^{C}\cdot e^{0,10}[/tex]
C = [symbol:plussminus][tex] e^{C}[/tex]
[tex]\frac{y}{195-y} = C\cdot e^{0,10}[/tex]
[tex]y=C\cdot e^{0,10}\cdot(195-y)[/tex]
[tex]\frac{1}{C} y = e^{0,10}\cdot(195-y)[/tex]
[tex]\frac{1}{C} \cdot e^{-0,10t} y = 195-y[/tex]
[tex]\frac{1}{C} = K[/tex]
[tex]y+K\cdot e^{-0,10t} y = 195[/tex]
[tex]y\cdot(K\cdot e^{-0,10t}+1) = 195[/tex]
[tex]y=\frac{195}{K\cdot e^{-0,10t}+1}[/tex]
Så bruker jeg informasjonen i oppgaven. Det er i dag 65 000 fugler, dvs ved t=0 er y=65000
[tex]65 000 =\frac{195}{K\cdot e^{-0,10\cdot 0}+1}[/tex]
[tex]65 000 =\frac{195}{K+1}[/tex]
[tex]65000 \cdot (K+1) = 195[/tex]
[tex]K+1 = \frac{195}{65000}[/tex]
[tex] K = 0,003 -1[/tex]
[tex] K = -0,9[/tex]
dvs
[tex]y=\frac{195}{-0,9\cdot e^{-0,10t}+1}[/tex]
Men dette er feil i forhold til fasiten, for den sier at:
[tex]y=\frac{195}{1+2e^{-0,10t}[/tex]
Er det noen som klarer å se hvor feilen ligger, og som eventuelt vil hjelpe meg videre? Smile
