Praktisk bruk av differenseiallikninger

[akihc]

Setter pris på hjelp.

Oppgave 15.92

I en innsjø er det 10.000.000 m^3 reint vann. Fra innsjøen renner det ei elv der vannføringen er 10.000m^3 per dag. En bedrift får tillatelse til å slippe ut 2 tonn av et kjemisk stoff per døgn i innsjøen. Vi forutsetter at stoffet blander seg godt med alt vannet i innsjøen, og at kjemikaliet bare forsvinner gjennom elva.

a) Finn kjemikaliemengden y i tonn etter t døgn.

Prøvde a);
[tex]y`=-0,001y+2[/tex]

[tex]\: y=2000-2000e^{-0,001t}\:[/tex] som er korrekt.

b) Etter at bedriften har sluppet ut 2 tonn per døgn i 1 år , oppdager miljømyndihetene at innsjøen er forurenset av det kjemiske stoffet. Kjemikaliemengden i innsjøen bør ikke overstige 100 tonn.Bedriften stanser utslippet straks.

Hvor mange år går det før kjemikalieinnholdet i innsjøen er 100 tonn?

På forhånd takk for hjelpen.

[ettam]

Løs likningen:

y = 100

og du finner svaret.

[akihc]

Det var det jeg prøvde så jeg fikk;

[tex]\: y=2000-2000e^{-0,001t}\:[/tex]

[tex]\: 100=2000-2000e^{-0,001t}\:[/tex]

[tex]\frac{100-2000}{-2000}=e^{-0,001t}\:[/tex]

[tex]ln0,95=lne^{-0,001t}\:[/tex]

[tex]t=\frac{ln0,95}{-0,001}=51,3[/tex]

t er jo døgn og det er for lite i forhold til fasiten.

Fasitsvaret er ca.5 år.

hmm?

[Gustav]

I og med at ligningen endres når utslippene stanses må du løse ligningen

[tex]y^,=-0.001y[/tex] med startverdien [tex]y(0)[/tex] gitt ved

[tex]y(0)=2000-2000e^{-0.001*365}.[/tex]

Sett så[tex] y(t)=100[/tex] og løs for [tex] t[/tex].

[akihc]

y(0)=611,6=C som er en konstant.

y=100

[tex]y=C e^{-0,001t}[/tex]

[tex]t=\frac{ln(\frac{100}{611})}{-0,001}[/tex]

[Gustav]

Riktig!

Det blir ca 1810 dager som svarer til ca 5 år

[ettam]

Beklager, var litt rask der