integrerende faktor

[pjuus]

Oppgave. 6.17

Finn den integrerende faktoren. Multipliser begge sidene av likningen med den integrerende faktoren, og finn Y slik at den nye venstresiden av likningen kan skrives som Y'.

a) y' - 3y = 4
f(x) = -3, F(x) = -3x som gir den integrerende faktoren = e^(-3x)

Multiplisering gir:
y'*e^(-3x) - 3e^(-3x) = 4e^(-3x) ?


Resten av oppgaven skjønner jeg ikke

[meCarnival]

Da faktoriserer du venstre siden til:

[tex](I(x) \cdot y)^, = 4e^{3x}[/tex]

Det er alltid I(x) og y som skal inn i parentesen!

også integrerer på begge sider og fikser opp så du får et generelt uttrykk for y...

[meCarnival]

Skjønte du?

[espen180]

Her er en generell gjennomgang av metoden med I.F.

La oss ta for oss diffligningen [tex]y^\prime + p(x)y=q(x)[/tex].

Hvis vi ganger gjennom med [tex]e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex], får vi

[tex]y^\prime e^{\int p(x)\rm{d}x}\, + p(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y=q(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex].

Legg merke til at

[tex]\left(e^{\int p(x)\rm{d}x}\right)^\prime=p(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex].

Det vil si at

[tex]e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y^\prime+p(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y=\left(e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y\right)^\prime[/tex],

så vi har nå ligningen

[tex]\left(e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y\right)^\prime=q(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex].

Dette gir

[tex]e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y=\int q(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}\rm{d}x[/tex] (ser du hvorfor?)

Til sist får vi at

[tex]y=\frac{\int q(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}\rm{d}x}{e^{\int p(x)\rm{d}x}}[/tex]

Bare pass på å ikke memorisere formelen over, for det er strengt tatt ikke verdt det. Konsentrer heller på å memorisere metoden.

Den integrerende faktoren er [tex]e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex].