Kosmologi - Avstandsberegning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
espen180
Gauss
Gauss
Posts: 2578
Joined: 03/03-2008 15:07
Location: Trondheim

Her er noe jeg lurer på.

Om vi har én stjerne vi vet avstanden til, og en vi ikke vet avstanden til, er det da mulig å bruke den vi kjenner avstanden til for å finne avstanden til den andre?

Her er situasjonen slik jeg ser den for meg. I de to bildene er jorda på to forskjellige sider av sola, slik at [tex]\triangle ASJ[/tex] er rettvinklet.

Image Image

De verdiene vi kan bruke (altså de vi vet) er [tex]r_1\,,\,r_2\,,\,r_3\,,\,\angle\alpha[/tex] og [tex]\angle\beta[/tex].

Vi vil finne [tex]r_4[/tex].

Hva tror dere?
Top
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

For at dette skal stemme må vel solen, jordkloden og begge stjernene ligge på samme plan i rommet. Hvis ikke blir det jo avstandsavvik pga vinkelforskjellene.

Det de gjør for å måle avstander til stjerner er å se på lystypen og lysstyrken for å bestemme hva slags stjerne det er. Tror jeg. :)
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Top
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Rent geometrisk går det jo ikke an (med de opplysningene Espen har antatt) å regne seg frem til avstanden (selv om alle punktene ligger i samme plan). Hvis det er slik at både [tex]r_4[/tex] og [tex]r_5[/tex] er ukjent.

Man kan jo forlenge [tex]r_5[/tex] (på den første tegninga) uten at det går utover noen av de oppgitte verdiene unntatt [tex]r_4[/tex] som jo også er ukjent.

Ekstraoppgave i geometri:

SJA og SJB ligger i to plan med normalvektorer [tex]\vec{A}[/tex] og [tex]\vec{B}[/tex]

La vinkelen mellom [tex]\vec{A}[/tex] og [tex]\vec{B}[/tex] være [tex]\theta[/tex] og la [tex]\alpha , \beta , r_1,r_2,r_3,r_4,r_5[/tex] være kjent (som på figuren til venstre i det opprinnelige innlegget til Espen).

Finn et uttrykk for avstanden mellom stjernene A og B.
Top
espen180
Gauss
Gauss
Posts: 2578
Joined: 03/03-2008 15:07
Location: Trondheim

Gitt at alle stjernene og jorda er på samme plan:

Du har rett i at man kan forlenge [tex]r_5[/tex] uten at noen andre verider bortsett fra [tex]r_4[/tex] på virkes, men [tex]\Delta \beta[/tex] forandres jo for det, så da burde det jo gå a å bruke [tex]\Delta \beta[/tex] til noe?
Top
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

espen180 wrote:Gitt at alle stjernene og jorda er på samme plan:

Du har rett i at man kan forlenge [tex]r_5[/tex] uten at noen andre verider bortsett fra [tex]r_4[/tex] på virkes, men [tex]\Delta \beta[/tex] forandres jo for det, så da burde det jo gå a å bruke [tex]\Delta \beta[/tex] til noe?
Nei, beta er konstant. Man forlenger langs r_5'

Det jeg mener er at de verdiene du har antatt ikke vil gi noe entydig posisjon for B. Så derfor kan man ikke finne avstanden mellom jorda og B.
Top
espen180
Gauss
Gauss
Posts: 2578
Joined: 03/03-2008 15:07
Location: Trondheim

Jeg mener [tex]\Delta \beta[/tex] når jorda forslytter seg til den andre siden av solen, altså forskjellen i [tex]\beta[/tex] mellom de to bildene. Da blir jo [tex]\Delta \beta[/tex] mindre når [tex]r_4[/tex] vokser, ikke sant?

Dessuten har vi [tex]\Delta r_5=r_6-r_5[/tex] på bildene.
Top
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

da misforsto jeg visst . beklager!
Top
espen180
Gauss
Gauss
Posts: 2578
Joined: 03/03-2008 15:07
Location: Trondheim

Det viser seg at vi ikke har bruk for stjerne A i det hele tatt.

Vi fjerner stjerne A, så markerer vi de to posisjonene Jorda har (på hver sin side av Sola). Vi vet avstanden til sola, [tex]r[/tex], og vi kan måle vinkelen [tex]\angle BJS[/tex]. Da får vi trekanten
Image

Siden vi kan måle [tex]\beta_1[/tex] og [tex]\beta_2[/tex], vet vi den siste vinkelen (vi kaller denne [tex]\gamma[/tex]) og vi vet [tex]r[/tex]. Derfor blir [tex]r_5=2r\frac{\sin\beta_1}{\sin\gamma}[/tex] og [tex]r_4=2r\frac{\sin\beta_2}{\sin\gamma}[/tex]. Og dermed har vi funnet avstanden fra jorden til sjerna.

Avstanden fra Sola til sjerna blir så [tex]|SB|=\sqrt{r_5^2+r^2-2r_5r\cos\beta_2}=\sqrt{r_4^2+r^2-2r_4r\cos\beta_1}[/tex]
Top
magneam
Cantor
Cantor
Posts: 121
Joined: 17/01-2008 11:31

Dette kalles parallakse

http://en.wikipedia.org/wiki/Parallax
Top
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

Veldig morsom praktisk anvendelse av geometri! Og ganske oppfinnsomt av unge espen180, som tenkte seg frem til dette uten å kjenne til denne teknikken! ;)

Står også litt om det her:
http://science.howstuffworks.com/question224.htm
De bruker parallakse til å måle stjerner som er opp til 400 lysår fra jordkloden, og derfra bruker de lystype og lysstyrke for å estimere avstanden, som jeg nevnte over. Visste jeg hadde lest det et sted før.

Da har vi kanskje lært noe nytt alle sammen? :)
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Top
magneam
Cantor
Cantor
Posts: 121
Joined: 17/01-2008 11:31

Det er så utrolig fascinerende å lese om de gamle grekerne som for over 2000 år siden, ved hjelp av geometri, ganske nøyaktig klarte å finne omkretsen av jorden. Les mer om Eratosthenes her

http://en.wikipedia.org/wiki/Eratosthen ... cumference
Top
espen180
Gauss
Gauss
Posts: 2578
Joined: 03/03-2008 15:07
Location: Trondheim

magneam wrote:Det er så utrolig fascinerende å lese om de gamle grekerne som for over 2000 år siden, ved hjelp av geometri, ganske nøyaktig klarte å finne omkretsen av jorden. Les mer om Eratosthenes her

http://en.wikipedia.org/wiki/Eratosthen ... cumference
Ja, der er jeg enig!
Top
Post Reply

Return to “Videregående skole: VG1, VG2 og VG3”