Side 1 av 1

Fra sum til brøk

InnleggSkrevet: 22/09-2006 14:43
sEirik
Er det mulig å gå algebraisk fra

(1) [tex]\sum_{i=1}^n i[/tex]

til

(2) [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

? Og i så fall hvordan? Med andre ord, hvordan kommer man fram til at (1) er lik (2)? Dvs, når man først vet det, er det enkelt å bevise, men hvordan finner man uttrykket (2)?

InnleggSkrevet: 23/09-2006 02:54
Magnus
Man leter vel etter et utrykk som passer, og deretter bruker man induksjon for å se om det passer for alle. Så er vel mest om å "prøve" seg fram.

InnleggSkrevet: 23/09-2006 08:23
Cauchy
Trenger ikke prøve seg frem heller, formelen er ganske intuitiv klar hvis du tenker på denne måten:

Du skal summe alle heltallene fra 1 - n.
Først summer du samen n og 1
Så summer du sammen n-1 og 2
.
.
.
.
Til slutt summer du sammen n/2 og n/2+1

Summen av alle disse parene er n+1, og du har n/2 har dem. da følger formelen direkte.

InnleggSkrevet: 23/09-2006 13:37
Magnus
Ja, selvfølgelig, dette tilfelle er vel et særtilfelle i grunn. VI kan bruke aritmetiske rekker for å finne denne summen, så var litt dårlig besvart det forrige innlegget mitt, beklager.

Men når man kommer til høyere potenser finnes det også en generell formen for disse, men disse inneholder bernoulli-tall, så de er ikke akkurat lette å forholde seg til :)

InnleggSkrevet: 23/09-2006 15:40
Cauchy
Det stemmer det, og da er det ikke no gøy lenger, bare jobb:P

InnleggSkrevet: 28/09-2006 21:31
sEirik
Wikipedia har visst klart å gå algebraisk fra (1) til (2). Elegant måte å gjøre det på også.

InnleggSkrevet: 01/10-2006 15:01
daofeishi
Jada, det finnes mange algebraiske måter å gjøre det på. Wikipedia har vist en. En annen er ved å bruke teleskoprekker:

Legg merke til at:
[tex]\sum _1 ^n [k^2 - (k-1)^2] = n^2[/tex]
Siden hvert ledd kansellerer det forrige - helt fram til siste leddet. Dette er en teleskoprekke, siden hele rekken "folder" seg selv sammen, omtrent som gamle uttrekksteleskop.

[tex]k^2 - (k-1)^2 = 2k - 1 \\ \Rightarrow \sum _1 ^n (2k - 1) = n^2 \\ 2\sum _1 ^n k - \sum _1 ^n 1 = 2 \sum _1 ^n k - n = n^2 \\ \therefore \ \ \sum _1 ^n k = \frac{n^2+n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]


Teknikken med teleskoprekker kan brukes videre for summen av kvadrater og kuber også - og bygger da videre på tidligere resultater.

[tex] k^3 - (k-1)^3 = 3k^2 - 3k + 1 \\ \sum _1 ^n (3k^2 - 3k + 1) = n^3 \\ 3\sum _1 ^n k^2 = n^3 + 3\sum _1 ^n k - \sum _1^n 1 = n^3 + \frac{3(n^2 + n)}{2} - n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} \\ \therefore \ \ \sum _1 ^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

[tex]k^4 - (k-1)^4 = 4k^3 - 6k^2 + 4k - 1 \\ 4\sum _1^n k^3 = n^4 + \frac{6n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{4n(n+1)}{2} + n = n^2(n+1)^2 \\ \therefore \sum _1^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]