Maksimum

[espen180]

Hvor har funksjonen [tex]\sqrt[x]{x}[/tex] sitt globale maksimum?

[Nebuchadnezzar]

[tex](e \, , \, e^{\frac{1}{e}})[/tex]

Denne hadde en stygg derivasjon...

Oppfølger: Finn bunnpunktet til [tex]x^x[/tex]

[espen180]

Du må definere definisjonsmengden først. Går ut ifra at det er [tex]\mathbb{C}[/tex], siden du sier toppunkt...

[Audunss]

Oppfølger: Finn toppunktet til [tex]x^x[/tex]

Er vell ganske opplagt at den er strengt voksende, og derfor har maksimum når x=uendelig, og da er funksjonen uendelig.

[espen180]

Oppfølger: Finn toppunktet til [tex]x^x[/tex]

Er vell ganske opplagt at den er strengt voksende, og derfor har maksimum når x=uendelig, og da er funksjonen uendelig.

Det kommer vel an på hva en mener med toppunkt? Kanskje han mener det lokale toppunktet, dvs [tex]\Re (x^x)[/tex], for negative x?

[Audunss]

greit nok, kan være annerledes om han sier noe om definisjonsmengden, men så lenge det bare er den funksjonen, vil den ha størst verdi for uendelig så vidt jeg kan se.

[Nebuchadnezzar]

Om ti tar en titt på funksjonen[tex] f(x)=\sqrt[x]{x}[/tex] kan vi skrive dette som [tex]f(x)=x^{1/x}[/tex]

Om x er mindre enn 0 vil vi få komplekse tall. Om vi lar x vokse mot uendelig ser vi at [tex]\lim_{x \to \infty} f(x)=1[/tex] siden brøken vil gå mot null.

Altså er definisjonsmengden [tex][x>0][/tex]

Om vi lager en fortegnslinje for den deriverte som er, orker ikke mer latex

[tex] f(x)=\sqrt[x]{x}[/tex]

Bruker en smart omskrivning her med [tex]e^x[/tex] for å løse derivasjonen

[tex] f^{\prime}(x)=x^{1/x}( \frac{-\ln(x)+1}{x})[/tex]

Kan skrives om til

[tex] f^{\prime}(x)=-x^{-\frac{-1+2x}{x}}(\ln(x)-1)[/tex]

Første delen vil alltid være positivt. Løser vi siste del får vi at
[tex]x=e[/tex]

som gir oss toppunktet

[tex](e \, , \, e^{\frac{1}{e}} )[/tex]

Fornøyd ?

[espen180]

Joda.

Kunne du forresten opplyse litt om oppfølgeroppgaven din?

[Nebuchadnezzar]

[tex](e \, , \, e^{\frac{1}{e}})[/tex]

Denne hadde en stygg derivasjon...

Oppfølger: Finn bunnpunktet til [tex]x^x[/tex]

^^ Går litt fort i svingene.

Edit: to oppgaver som er lignende, men også gøye er jo.

a) Finn det største stigningstallet til [tex]\sqrt[x]{x}[/tex]
b) Finn arealet mellom [tex]\sqrt[x]{x}[/tex] og [tex]x^x[/tex] langs [tex]x[/tex] aksen fra 0 til 1