Liten VGS nøtt

[gabel]

En 3 x 3 x 3 kube blir malt gul og delt opp i 27, 1x1x1 kuber. Hvor mange kuber har gul malig på henholdsvis 0,1,2 og 3 sider.

[moth]

26 har maling så 0 sider=1

Kun hjørnene har maling på 3 sider så 3 sider=4

Kun de i midten på hver sideflate har maling på kun 1 side så 1 side= 4

Da blir 2 sider= 26-4-4=18

[moth]

Hadde det ikke vært for at en kube har 8 hjørner og 6 sider, hehehe vet ikke hva jeg tenkte på

Men da blir det ihvertfall (med forbehold)

0 sider=1
1 side=6
2 sider=26-8-6=12
3 sider=8

[mrcreosote]

Ekstraoppgave: Regn ut polynomet [tex](1+2x)^3[/tex].

[gabel]

Ekstraoppgave: Regn ut polynomet [tex](1+2x)^3[/tex].

En får 3 sammenfaldene løsninger siden :[tex](1+2x)^3=(1+2x)(1+2x)(1+2x)[/tex]. Dette vil være null når en av faktorene er null.

[tex]1+2x = 0 \\ x_{1,2,3} = -\frac{1}{2}[/tex]

[FredrikM]

Ekstraoppgave: Regn ut polynomet [tex](1+2x)^3[/tex].

Veldig interessant:
[tex](1+2x)^3=(1+2x)^2(1+2x)=(1+4x+4x^2)(1+2x)=1+6x+12x^2+8x^3[/tex]

Og koeffisientene er jo akkurat hva gabel spør om i førsteposten. Hvordan forklares dette? Eller kan dette generaliseres?

[mrcreosote]

Det er ikke tilfeldig, nei. Dette går det fint an å forske på for interesserte. Hvordan er det for eksempel med en 4*4*4-kube, kan man finne et tilsvarende polynom? Her er det mange muligheter, bruk kreativiteten!

(Mods: Denne tråden kan med hell flyttes til nøtteforumet.)

[FredrikM]

Satt og lekte meg litt med kuber (og litt juksehjelp fra Wolfram-Alpha for å kjenne igjen polynomene ), og ser følgende system:
2x2x2: [tex](0+2x)^3[/tex]
3x3x3: [tex](1+2x)^3[/tex]
4x4x4: [tex](2+2x)^3[/tex]
5x5x5: [tex](3+2x)^3[/tex]
...og spår følgende:
nxnxn: [tex](n-2+2x)^3[/tex]

Antar dette forholdsvis lett kan vises med induksjon. Det gidder jeg ikke nå.

Etter litt leking ser jeg at samme polynomet fungerer for et 3x3-kvadrat ([tex](1+2x)^2[/tex]). Testet det for et 4x4-kvadrat, og det holder også fint: [tex]2+2x)^2[/tex].

Og dette kan vi kanskje generalisere for flere dimensjoner enn tre?

[gabel]

Klarer ikke og fatte hvordan derre kommer fram til leddene inni parentesene, noen som kan forklare dette litt nermere ?

[Thales]

Det eneste jeg kan svare for er at:
I en NxNxN kube så:

0 sider: (N-2)^3
1 side: 6(N-2)^2
2 sider: 12(N-2)
3 sider: 8

[Tore Tangens]

Vel. Angående 3x3x3 kube-oppgaven, kan jeg verifisere at svarene er riktige vha å telle med fingrene på en rubiks kube som ligger her