Sum av resiproke verdier

[daofeishi]

Vis at dersom du legger sammen de resiproke verdiene av tre etterfølgende positive heltall, vil telleren til den forkortede brøken alltid være et oddetall.

(Den resproke verdien av x er 1/x.)

Eksempel:
[tex]\frac 1 7 + \frac 1 8 + \frac 1 9 = \frac{191}{504}[/tex]
og 191 er et oddetall

[tex]\frac 1 {14} + \frac 1 {15} + \frac 1 {16} = \frac{337}{1680}[/tex]
og 337 er et oddetall

[tex]\frac 1 {171} + \frac 1 {172} + \frac 1 {173} = \frac{88751}{5088276}[/tex]
og 88751 er et oddetall

[Thales]

Vis at dersom du legger sammen de resiproke verdiene av tre etterfølgende positive heltall, vil telleren til den forkortede brøken alltid være et oddetall.

(Den resproke verdien av x er 1/x.)

Eksempel:
[tex]\frac 1 7 + \frac 1 8 + \frac 1 9 = \frac{191}{504}[/tex]
og 191 er et oddetall

[tex]\frac 1 {14} + \frac 1 {15} + \frac 1 {16} = \frac{337}{1680}[/tex]
og 337 er et oddetall

[tex]\frac 1 {171} + \frac 1 {172} + \frac 1 {173} = \frac{88751}{5088276}[/tex]
og 88751 er et oddetall

Vi bruker følgende:

[tex]\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+{bc}}{bd}[/tex]

[tex]\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{ad+{bc}}{bd}+\frac{e}{f}=\frac{(ad+bc)\cdot{f}+bd\cdot{e}}{bdf}=\frac{{(ad+bc)f}+{bde}}{bdf}\\a=1\\c=1\\e=1\\\frac{{(ad+bc)f}+{bdf}}{bdf}=\frac{{(1\cdot{d}+{b}\cdot{1})\cdot{f}}+{bd\cdot{1}}}{bdf}=\frac{(d+b)\cdot{f}+bd}{bdf}[/tex]

Siden dette er en rekke sier vi at:

[tex]b=x\\d=(x+1)\\f=(x+2)\\\frac{(d+b)\cdot{f}+bd}{bdf}=\frac{((x+1)+x)\cdot{(x+2)}+(x)(x+1)}{(x)(x+1)(x+2)}=\frac{{((2x+1)}\cdot{(x+2)}+(x^2+x)}{(x^2+x)(x+2)}= \\\frac{{(2x^2+5x+2)}+{(x^2+x)}}{(x^3+3x^2+2x)}=\frac{3x^2+6x+2}{x^3+3x^2+2x}[/tex]

[tex]x[/tex] kan være partall eller oddetall. Vi stter opp begge muligheten:

Oddetall(i):

[tex]\frac{3i^2+6i+2}{i^3+3i^2+2i}=\frac{i+p+p}{i+i+p}=\frac{i}{p}[/tex]

Siden telleren er oddetall og nevneren partall, vil brøken bli forkortet med oddetall vis mulig(man kan jo ikke forkorte med partall) siden oddetall delt på oddetall fører til nytt oddetall, beviser dette at telleren må bli oddetall, selv om du forkorter den.

Partall(p):

*Partall kan jo skrives som [tex]2i[/tex]!

[tex]\frac{3(2i)^2+6(2i)+2}{(2i)^3+3(2i)^2+2(2i)}=\frac{3(4i^2)+12i+2}{8i^3+3(4i^2)+4i}=\frac{12i^2+12i+2}{8i^3+12i^2)+4i}[/tex]

Vi kan forkorte med 2 i telleren og nevneren:
[tex]\frac{(12i^2+12i+2)/2}{(8i^3+12i^2+4i)/2}=\frac{6i^2+6i+1}{4i^3+6i^2+2i}=\frac{p+p+1}{p+p+p}=\frac{i}{p}[/tex]

Vi kan konkludere mes samme argument som i tilfelle med x=oddetall, at vis telleren er oddetall, så kan man bare forkorte det til et annet oddetall, ergo, legger du sammen de resiproke verdiene av tre etterfølgende positive heltall, vil telleren til den forkortede brøken alltid være et oddetall.

[Thales]

Noen komentar?

[daofeishi]

Det ser bra ut dette her, Thales! Du har helt klart god matematisk og logisk sans, men du må jobbe litt med bevisføringen din.

I et matematisk bevis, vil du gjerne gjøre de steg som trengs - men ikke flere. Derfor er det en god idé å skrive
[tex]\frac 1 n + \frac 1 {n+1} + \frac 1 {n +2} = \frac{3n^2 + 6n + 2}{n^3 + 3n^2 + 2n}[/tex]
helt fra starten av, så slipper du en del bry for både deg selv og leseren
(Når man arbeider med heltallige variabler, er det god matematisk praksis å bruke bokstavene k,m,n istedenfor x, y og z.)

Du bør heller ikke skrive ting som p + p + i = i, siden det ikke gir mening algebraisk.

Dette er ting som kommer med trening. Godt jobbet!

P.S. Husk også at dersom i er et oddetall, så kan ikke alle partall skrives på formen 2i. De kan derimot skrives på formen [tex]2^n i[/tex] for n>0. Dette har dog ikke noe å si for resultatet ditt.