Sommernøtt

[Badeball]

Litt lite action her, så tenkte jeg skulle bidra med en litt morsom nøtt jeg fant i en norsk mattenøttbok (dette var en av de vanskeligere oppgavene i en bok som stort sett hadde "nøtter" beregnet på barn/ungdom).

Tenk deg at du har et sett med identiske brikker formet som likesidede trekanter. Ved å legge slike brikker inntil hverandre, kan man konstruere større likesidede trekanter (f.eks. med fire brikker hvor den i midten er opp-ned). Det man også kan gjøre er å konstruere likesidede trekanter som inneholder et hull formet som en likesidet trekant. Dette hullet skal være i sentrum og skal ha samme orientering som den store trekanten (dvs begge skal ha spiss som peker opp). Det er lett å se at det minste antall brikker man trenger for å lage en slik trekant er 15.

Oppgaven er: Hva er det minste antall brikker man trenger hvis man skal kunne lage to forskjellige slike trekanter med hull i (som beskrevet over) med de samme brikkene? (man må bruke alle brikkene når man setter sammen hver trekant. For å være helt presis: Man skal ikke bruke brikkene til å lage to trekanter samtidig, men de samme brikkene skal brukes til å lage først en trekant, og så en annen en som er forskjellig).

[Knuta]

Skulle vel tro at dette er løsningen.



Det er bare å telle. Men jeg kaster oppgaven videre til den som har lyst til å lage en rekke som angir antall trekanter når antall trekanter n på grunnlinjen er gitt.

[Badeball]

Nei, hver av trekantene med hull i som du lager skal bruke ALLE brikkene. Det skal altså bli en stor og tynnvegget trekant-med-hull-i, og en mindre men tykkvegget.

[Knuta]

Du har vel løsningen her?

den store minus de to mindre, og den store minus den minste?
Så er det bare å finne hvor mange brikker som brukes?

[Badeball]

Jeg vet løsningen ja.

Du misforstår litt. De to trekantene du foreslår som løsning har ikke like mange brikker i seg, den med det store hullet har 33 brikker og den med det lille hullet har 48 brikker.

For noen bestemte tall er det mulig å bruke alle brikkene til å sette sammen en trekant med hull i på FLERE enn en måte. Oppgaven er å finne antall brikker som er det laveste antallet man kan gjøre det på TO forskjellige måter.

F.eks. med 33 brikker og 48 brikker er det kun mulig å gjøre det slik du har tegnet det opp, dvs én måte.

[2357]

"Slettet".

[gill]

Det man også kan gjøre er å konstruere likesidede trekanter som inneholder et hull formet som en likesidet trekant. Dette hullet skal være i sentrum og skal ha samme orientering som den store trekanten (dvs begge skal ha spiss som peker opp). Det er lett å se at det minste antall brikker man trenger for å lage en slik trekant er 15.

Kan ikke dette være en slik trekant?

[Emilga]

Nei, her peker den "tomme" trekanten opp-ned.

[Badeball]

Det trekantformede hullet i trekanten skal BÅDE ha spissen pekende opp OG være i MIDTEN av den trekanten.

[gill]

48

[gill]

[gill]

[gill]

regner med at dette kan skrives som likning og men fant ikke ut hvordan.

[gill]

Den ene trekanten, den minste i størrelse, kan ha likningen

[tex]8+(7+2x)\cdot y[/tex]

der 8 er de åtte øverste trekantene.

7 er antallet trekanter i rekken under.

y er hvor mange rekker under de åtte man legger til

x er hvor mange rekker man legger til utover den første på 7.


Den andre kan ha likningen

[tex]8+4x+(7+2y)\cdot z[/tex]

der 8 er de åtte første trekantene.

4x er antallet med rekker hvor det er 4 trekanter

y er antallet med trekanter hvor det har blitt lagt til y antall av to trekanter. Y kan starte på noe annet enn en.





[tex]8+(7+2x)\cdot y=8+2x+(7+2y)\cdot z[/tex]

men dette lar seg vel vanskelig løse som en likning. Trenger man ikke en likning til

[Thales]

EDIT: ja, ja hullet er vel i midten... med jeg trodde all sidene av trekanten måtte være like