Oppgave

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Oppgave

Innlegg Sonki » 07/10-2007 19:32

en litt morsom oppgave jeg fant :)

Hva er summen av de reelle røttene til

[tex]x^3-3x^2+3x+1=0[/tex]

den er fullt mulig å løse uten å ha kunnskap om den generelle løsning til en tredjegradsligning (det er vel det som er meningen). Sikkert litt enkel for noen her da :)
Sonki offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 88
Registrert: 21/06-2007 12:31

Innlegg =) » 07/10-2007 20:39

røttene? jeg finner bare én reell rot.

kanskje du mener

[tex]x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0[/tex]?

(og bare for å pirke vil jeg si, hva er summen til de reelle løsningene av ligningen. de er jo røtter av tredjegrads funksjonen da.)
=) offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 447
Registrert: 09/05-2007 21:41

Innlegg Mayhassen » 07/10-2007 21:08

Blir vel ikke så mange flere røtter med likningen din =)? Den ene skifter vel bare litt fortegn eller hur?
Mayhassen offline
Brahmagupta
Brahmagupta
Brukerens avatar
Innlegg: 374
Registrert: 30/03-2006 17:55
Bosted: Brumunddal

Innlegg =) » 07/10-2007 21:11

det ble flere reelle røtter men antallet røtter er og vil alltid forbli tre i en tredjegrads funksjon
=) offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 447
Registrert: 09/05-2007 21:41

Innlegg Mayhassen » 07/10-2007 21:58

Er det ikke bare en reell rot i begge da? 1 og -1?
Mayhassen offline
Brahmagupta
Brahmagupta
Brukerens avatar
Innlegg: 374
Registrert: 30/03-2006 17:55
Bosted: Brumunddal

Innlegg Charlatan » 07/10-2007 21:59

Vi har at en tredjegradsfunksjon med tre røtter kan skrives slik:

[tex]n(x-a)(x-b)(x-b) = nx^3-n(a+b+c)x^2+n(ab+ac+bc)x-nabc[/tex]

Som =) har sagt gjelder for alle tredjegradsfunksjoner, (med imaginære røtter).

Her vil summen av de relle og de imaginære røttene [tex](a+b+c) =3[/tex]


De reelle røttene derimot, summen av de er vel bare verdien av den ene rota, omtrent [tex]-0.259921[/tex] ifølge kalkulatoren.

Kan uansett lage en regel:

For en tredjegradsfunksjon [tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] med røtter [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] vil summen av disse være lik -ba

Altså:

[tex]x_1+x_2+x_3=-ba[/tex]

Dette er med imaginære røtter da.
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg Magnus » 08/10-2007 10:18

For en tredjegradsfunksjon med én reell rot og to komplekse, vil de komplekse være komplekskonjugerte. Det er derfor summen av røttene blir et reellt tall.
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg Mayhassen » 08/10-2007 10:27

Akkurat :) Nå har jeg ikke hatt noe om imaginære tall så det vil vel bli klart en vakker dag
Mayhassen offline
Brahmagupta
Brahmagupta
Brukerens avatar
Innlegg: 374
Registrert: 30/03-2006 17:55
Bosted: Brumunddal

Innlegg Sonki » 08/10-2007 13:37

Ligningen har jeg skrevet opp rett, og ja, det er bare en reele rot til oppgaven. Men jeg vil gjerne se en hurtig måte på hvordan man finner denne :) :wink:
Sonki offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 88
Registrert: 21/06-2007 12:31

Innlegg mrcreosote » 14/10-2007 22:12

Hvis det i ligninga [tex]x^3+ax^2+bx+c=0[/tex] gjelder at [tex]a^2=3b[/tex], er den ikke så vanskelig å løse.

Se på [tex]x^3+ax^2+\frac{a^2}3x+c=0[/tex] og prøv å gjøre noe lurt. Hva er trikset når man utleder løsningformelen for en annengradsligning?
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg =) » 15/10-2007 11:36

hint(?):

[tex](a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex]
=) offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 447
Registrert: 09/05-2007 21:41

Innlegg Carve » 19/10-2007 00:41

[tex]x^3 - 3x^2 + 3x + 1[/tex] = [tex]x^3 - 3x + 3x^2 - 1 +2[/tex]
= [tex](x-1)^3+2=0[/tex]

=> x = 1 - 2^(1/3)
Carve offline
Noether
Noether
Innlegg: 49
Registrert: 18/10-2007 23:05

Innlegg Sonki » 19/10-2007 07:50

stemmer :D
Sonki offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 88
Registrert: 21/06-2007 12:31

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 32 gjester