Polynomoppgave

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Polynomoppgave

Innlegg daofeishi » 06/10-2007 06:15

Bevis at dersom f(x) er et polynom med heltallige koeffisienter, vil f(a+f(a)) være et multippel av f(a) for alle heltallige a.
Sist endret av daofeishi den 06/10-2007 12:18, endret 1 gang
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg mrcreosote » 06/10-2007 10:39

Antar det skal være f(a+f(a)). Denne oppgava er fullt mulig å løse for vgs-elever!
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg daofeishi » 06/10-2007 12:19

Stemmer, stemmer, stemmer. Rettet nå :) Og dette er jo også en fin måte å bevise at det ikke finnes noen polynomer som kan gi kun primtall.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg TurboN » 23/10-2007 08:41

Heltallsmultippel burde du vel spesifisere. :mrgreen:
TurboN offline
Cauchy
Cauchy
Brukerens avatar
Innlegg: 236
Registrert: 15/11-2006 19:33

Innlegg daofeishi » 23/10-2007 09:00

Slutt å kverulere og løs oppgaven i stedet ;)
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Ice » 23/10-2007 19:34

Usikker på hvor generell denne løsningen er, men prøver likevel.
Lager en funksjon f(x), forhåpentligvis WLOG ;)

[tex]f(x) = 3x+1[/tex]
[tex]f(a) = 3a+1[/tex]
[tex]f(a+f(a)) = 3(a+f(a))+1 = 3a+3(3a+1)+1[/tex]
[tex] = 12a+4 = 4(3a+1)[/tex]

Og vi er ferdige. 8-)
Èg er Islendingur :P
Ice offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 79
Registrert: 13/01-2006 23:34
Bosted: Trøndelag

Innlegg mrcreosote » 23/10-2007 19:39

Hvis W-en din står for with, er det greit...

Litt hjelp: La (utag...) [tex]f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i[/tex] og prøv å regne rett fram, da skal du ikke se bort fra at det kommer litt resultater ut.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg Ice » 23/10-2007 19:44

mrcreosote skrev:Hvis W-en din står for with, er det greit...

Litt hjelp: La (utag...) [tex]f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i[/tex] og prøv å regne rett fram, da skal du ikke se bort fra at det kommer litt resultater ut.


hmmm, var et håp om at det var "without", men det får være.
Med den summen du skriver der., sliter jeg litt med å forstå hvordan jeg
skal skrive den. Lurer f.eks på hvorfor a også endrer seg, er ikke det en konstant..?
Kan du bare gi et eksempel hvis n=2, ;) ?
Èg er Islendingur :P
Ice offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 79
Registrert: 13/01-2006 23:34
Bosted: Trøndelag

Innlegg mrcreosote » 23/10-2007 19:59

(Jeg bytter ut a_i-ene med c_i, kan kanskje bli litt rotete.)

[tex]f(x)=\sum_{i=0}^nc_ix^i [/tex] er bare en komprimert måte å skrive [tex]f(x)=c_0+c_1x+\dots+c_nx^n[/tex] på.

Vi har nå at [tex]f(a) = \sum_{i=0}^nc_ia^i = c_0+c_1a+\dots+c_na^n[/tex]. Hva er f(a+f(a))? Regn ut. Klarer du å faktorisere ut f(a) fra dette er du i mål!

Er ikke noen grunn til å gjøre det eksplisitt for n=2, virker som du har forstått prinsippene og hva du skal gjøre. Knot litt med bokstavene nå og se om det ikke blir bra.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg arildno » 23/10-2007 20:02

Husk at enhver potens of f(a) har seg selv som faktor..
arildno offline
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 7 gjester