Siden [tex]\frac d{dx}\ln(x+sqrt{x^2-1}) = \frac1{\sqrt{x^2-1}}[/tex], kan det tenkes at substitusjonen [tex]u=\ln(x^{\frac32}+\sqrt{x^3-1})[/tex] fører fram, men jeg fikk det ikke til.
Edit: Endra noen fortegn.
Nattintegral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Her er løsningen www.quickmath.com gir. Vet ikke om den er holdbar. Stygg er den ihvertfall.
[tex]\int \frac{x}{\sqrt{x^3-1}}\rm{d}x=\frac{1}{\sqrt[4]{3}\sqrt{x^3-1}}\left(2\sqrt[6]{-1}\sqrt{(-1)^{\frac56}(x-1)}\sqrt{x^2+x+1}\left(\sqrt[3]{-1}F\left(\rm{arcsin}\left(\frac{\sqrt{-ix-(-1)^{\frac56}}}{\sqrt[4]{3}}\right|\sqrt[3]{-1}\right)-i\sqrt{3}E\left(\rm{arcsin}\left(\frac{\sqrt{-ix-(-1)^{\frac56}}}{\sqrt[4]{3}}\right|\sqrt[3]{-1}\right)\right)\right)[/tex]
[tex]\int \frac{x}{\sqrt{x^3-1}}\rm{d}x=\frac{1}{\sqrt[4]{3}\sqrt{x^3-1}}\left(2\sqrt[6]{-1}\sqrt{(-1)^{\frac56}(x-1)}\sqrt{x^2+x+1}\left(\sqrt[3]{-1}F\left(\rm{arcsin}\left(\frac{\sqrt{-ix-(-1)^{\frac56}}}{\sqrt[4]{3}}\right|\sqrt[3]{-1}\right)-i\sqrt{3}E\left(\rm{arcsin}\left(\frac{\sqrt{-ix-(-1)^{\frac56}}}{\sqrt[4]{3}}\right|\sqrt[3]{-1}\right)\right)\right)[/tex]
Jeg tror E-funksjonen er Euler-funksjonen. F-funksjonen er jeg ikke sikker på. De ble ikke definert i svaret.
hvorfor skulle det være eulerfunksjonen?
edit: Jeg hadde selv ingen anelse hva funksjonene var, men med litt søking så fant jeg ut at det er ellipticE og ellipticF (maple hjalp meg =þ).
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
for selve "funksjonene" gå på mathworld eller noe slikt
edit: Jeg hadde selv ingen anelse hva funksjonene var, men med litt søking så fant jeg ut at det er ellipticE og ellipticF (maple hjalp meg =þ).
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
for selve "funksjonene" gå på mathworld eller noe slikt
[tex]\int_0^3 \frac{\left(x^3(3-x)\right)^{1/4}}{5-x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(17-40^{3/4}\right)[/tex]
Jeg prøver - med forbehold om feil...TrulsBR skrev:Vi kan ikke gi oss med et slikt integral, så her er, tradisjonen tro, et nytt nattintegral:
[tex]I=\int {\frac{1}{{\cos ^8 x - \sin ^8 x}}\rm{d}x}[/tex]
[tex]I=\int \frac{\sec^8(x)}{1-\tan^8(x)}{\rm dx}=\int \frac{(1+\tan^2(x))^4}{1-\tan^8(x)}{\rm dx}=\int \frac{(1+\tan^2(x))^2(1+\tan^2(x))^2}{1-\tan^8(x)}{\rm dx}[/tex]
u = tan[sup]2[/sup](x) ==> du = 2tan(x)*(1 + tan[sup]2[/sup](x)) dx
altså:
[tex]I={1\over 2}\int \frac{(1+u)^3}{\sqrt{u} (1-u^4)} {\rm du}[/tex]
s = [symbol:rot]u
[tex]I=\int \frac{(s^2+1)^3}{1-s^8} {\rm ds}=-\int \frac{(s^2+1)^2}{(s+1)(s-1)(s^2+s sqrt{2}+1)(s^2-s\sqrt{2}+1)}{\rm ds}[/tex]
delbrøksoppspalter:
[tex]I=- \int (\frac{s\sqrt{2}+1}{2(s^2+s\sqrt{2}+1)}\,+\,\frac{s\sqrt{2}-1}{2(-s^2s+\sqrt{2}-1)}\,-\,\frac{1}{s+1}\,+\,\frac{1}{s-1})\,{\rm ds}[/tex]
[tex]I=\ln|\frac{s-1}{s+1}|\,+\,{1\over 2}(\int \frac{s \sqrt{2}-1}{(s-{1\over \sqrt{2}})^2+{1\over 2}}\,-\,\int \frac{s \sqrt{2}+1}{(s+{1\over \sqrt{2}})^2+{1\over 2}})\,{\rm ds}[/tex]
[tex]I=\ln|\frac{\tan(x)-1}{\tan(x)+1}|\,+\,{1\over 2\sqrt{2}}\ln(-(s-{1\over \sqrt{2}})^2-{1\over 2})\,-\,{1\over 2\sqrt{2}}\ln((s+{1\over \sqrt{2}})^2+{1\over 2})\,+\,C[/tex]
[tex]I=\text 2arctanh(tan(x))\,+\,{1\over 2\sqrt{2}}\ln|\frac{-(\tan(x)-{1\over \sqrt{2}})^2-{1\over 2}}{(\tan(x)+{1\over \sqrt{2}})^2+{1\over 2}}|\,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
PENT! Når lærer man å løse sånne typer integraler?Janhaa skrev:Jeg prøver - med forbehold om feil...TrulsBR skrev:Vi kan ikke gi oss med et slikt integral, så her er, tradisjonen tro, et nytt nattintegral:
[tex]I=\int {\frac{1}{{\cos ^8 x - \sin ^8 x}}\rm{d}x}[/tex]
[tex]I=\int \frac{\sec^8(x)}{1-\tan^8(x)}{\rm dx}=\int \frac{(1+\tan^2(x))^4}{1-\tan^8(x)}{\rm dx}=\int \frac{(1+\tan^2(x))^2(1+\tan^2(x))^2}{1-\tan^8(x)}{\rm dx}[/tex]
u = tan[sup]2[/sup](x) ==> du = 2tan(x)*(1 + tan[sup]2[/sup](x)) dx
altså:
[tex]I={1\over 2}\int \frac{(1+u)^3}{\sqrt{u} (1-u^4)} {\rm du}[/tex]
s = [symbol:rot]u
[tex]I=\int \frac{(s^2+1)^3}{1-s^8} {\rm ds}=-\int \frac{(s^2+1)^2}{(s+1)(s-1)(s^2+s sqrt{2}+1)(s^2-s\sqrt{2}+1)}{\rm ds}[/tex]
delbrøksoppspalter:
[tex]I=- \int (\frac{s\sqrt{2}+1}{2(s^2+s\sqrt{2}+1)}\,+\,\frac{s\sqrt{2}-1}{2(-s^2s+\sqrt{2}-1)}\,-\,\frac{1}{s+1}\,+\,\frac{1}{s-1})\,{\rm ds}[/tex]
[tex]I=\ln|\frac{s-1}{s+1}|\,+\,{1\over 2}(\int \frac{s \sqrt{2}-1}{(s-{1\over \sqrt{2}})^2+{1\over 2}}\,-\,\int \frac{s \sqrt{2}+1}{(s+{1\over \sqrt{2}})^2+{1\over 2}})\,{\rm ds}[/tex]
[tex]I=\ln|\frac{\tan(x)-1}{\tan(x)+1}|\,+\,{1\over 2\sqrt{2}}\ln(-(s-{1\over \sqrt{2}})^2-{1\over 2})\,-\,{1\over 2\sqrt{2}}\ln((s+{1\over \sqrt{2}})^2+{1\over 2})\,+\,C[/tex]
[tex]I=\text 2arctanh(tan(x))\,+\,{1\over 2\sqrt{2}}\ln|\frac{-(\tan(x)-{1\over \sqrt{2}})^2-{1\over 2}}{(\tan(x)+{1\over \sqrt{2}})^2+{1\over 2}}|\,+\,C[/tex]
Egentlig bare kombinasjon av møysommelig arbeid, stahet og nysgjerrighet.Mari89 skrev:Hehe, formulerte meg kanskje litt rart der. Det jeg mente å spørre om var vel mer hvilket nivå det lå på, om det hjelper?
Ser ut som om ett integral til snart må knuses...
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
må prøve meg iallfall...klarer liksom ikke la være...TrulsBR skrev:Ny natt, nytt integral:
[tex]I=\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}[/tex]
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
bruker substitusjonen[tex]\,\,u=\sqrt{\frac{b-x}{x-a}}[/tex]
der
[tex]u^2=\frac{b-x}{x-a}[/tex]
og
[tex]x=\frac{au^2+b}{u^2+1}[/tex]
[tex]2u\,du=\frac{a-b}{(x-a)^2}\,dx[/tex]
da er
[tex]dx=2u\frac{(x-a)^2}{a-b}\,du[/tex]
------------------------------------------
videre
[tex]I=2 \int \frac{x-a}{a-b}\,du=\frac{2}{a-b} \int(\frac{au^2+b}{u^2+1}\,-\,a)\,du=\frac{2}{a-b}\,[b-a(\arctan(u))]\,+\,C[/tex]
[tex]I=\frac{2(b-a)}{a-b}\,\arctan(\sqrt{\frac{b-x}{x-a}})\,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Svaret ser rett ut, men du kan jo forkorte litt til?
To andre metoder:
* Fullføre kvadratet og bruke en vanlig trigonometrisk substitusjon.
* Bruke den ikke helt åpenbare substitusjonen [tex]x = a \cos^2 t + b \sin^2 t[/tex].
To andre metoder:
* Fullføre kvadratet og bruke en vanlig trigonometrisk substitusjon.
* Bruke den ikke helt åpenbare substitusjonen [tex]x = a \cos^2 t + b \sin^2 t[/tex].
Ja, latterlig at jeg ikke skreiv dette med en gang...Janhaa skrev: [tex]I=\frac{2(b-a)}{a-b}\,\arctan(\sqrt{\frac{b-x}{x-a}})\,+\,C[/tex]
[tex]I=-2\,\arctan(\sqrt{\frac{b-x}{x-a}})\,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]