Bevis med formelle grenser

[espen180]

Oppgaveteksten lyder:
Bevis at grenseverdier er unike. Hint: Anta [tex]\lim_{x\to a}f(x)=L[/tex] og [tex]\lim_{x\to a} f(x)=M[/tex] og bruk [tex]\epsilon=\frac{|L-M|}{3}[/tex].

Mitt forsøk:

Anta at [tex]L\neq M[/tex]. Da kan vi for hver [tex]\epsilon>0[/tex] finne en [tex]\delta>0[/tex] slik at [tex]0<|x-a|<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-L|<\epsilon \quad \wedge \quad |f(x)-M|<\epsilon[/tex].

Hvis vi velger [tex]\epsilon=\frac{|L-M|}{3}[/tex] får vi at

[tex]|f(x)-L|<\frac{|L-M|}{3}[/tex] og [tex]|f(x)-M|<\frac{|L-M|}{3}[/tex]

Hvis vi legger den ene ulikheten til den andre, får vi

[tex]|f(x)-L|+|f(x)-M|<\frac{2|L-M|}{3}[/tex]

Av trekantulikheten har vi [tex]|a+b|\leq |a|+|b|[/tex], og [tex]|f(x)-L|=|L-f(x)|[/tex], så vi har

[tex]|L-M|<\frac{2|L-M|}{3}[/tex]

Som er en selvmotsigelse.



Holder dette mål?

[FredrikM]

Anta at [tex]L\neq M[/tex]. Da kan vi for hver [tex]\epsilon>0[/tex] finne en [tex]\delta>0[/tex] slik at [tex]0<|x-a|<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-L|<\epsilon \quad \wedge \quad |f(x)-M|<\epsilon[/tex].

Det følger ikke fra antakelsen at det finnes en slik delta. Konsekvensen følger av at [tex]M=\lim f = L[/tex].

Ellers ser resten supert ut.

[Karl_Erik]

Anta at [tex]L\neq M[/tex]. Da kan vi for hver [tex]\epsilon>0[/tex] finne en [tex]\delta>0[/tex] slik at [tex]0<|x-a|<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-L|<\epsilon \quad \wedge \quad |f(x)-M|<\epsilon[/tex].

Det følger ikke fra antakelsen at det finnes en slik delta. Konsekvensen følger av at [tex]M=\lim f = L[/tex].

Ellers ser resten supert ut.

Det følger nok fra antagelsen, jo, med et ettlinjesargument. Siden [tex]f(x)[/tex] går mot L finnes det, gitt en [tex]\epsilon[/tex], en [tex]\delta_1[/tex] slik at [tex]|f(x)-L|<|\epsilon[/tex] for alle [tex]0<|x-a|<\delta_1[/tex]. Tilsvarende finnes en [tex]\delta_2[/tex] slik at [tex]|f(x)-M|<\epsilon[/tex] for alle [tex]0<|x-a|<\delta_2[/tex]. Du har rett i at disse deltaene ikke behøver å være like, men velger vi [tex]\delta[/tex] til å være den minste av disse to går beviset helt fint.

[FredrikM]

Ikke det jeg siktet til. Det følger ikke fra [tex]L \neq M[/tex] at det finnes slike deltaer. Det følger derimot fra [tex]M= \lim f = L[/tex] at det finnes slike deltaer.

(jeg er en språkpirker. I matematiske bevis skal hver eneste setning være presis og korrekt, og her var det jo tydelig at Espen hadde forståelsen - bare en liten glipp i formuleringen)

[espen180]

Takk for god respons!
Hvis jeg har forstått riktig, burde jeg omformulere

Anta at [tex]L\neq M[/tex]. Da kan vi for hver [tex]\epsilon>0[/tex] finne en [tex]\delta>0[/tex] slik at...

til

Anta at [tex]L\neq M[/tex]. Siden vi antar at [tex]\lim_{x\to a}f(x)=L[/tex] og [tex]\lim_{x\to a}f(x)=M[/tex] kan vi for hver [tex]\epsilon>0[/tex] finne en [tex]\delta>0[/tex] slik at...

[FredrikM]

Det var ihvertfall det jeg mente ;) (evt. fjern "vi antar at" og bare " og ta vare på "siden"^^)

[Vektormannen]

espen180 -- kan det stemme at vi tar MA1101 på NTNU i lag?

Uansett, kan jeg få hijacke tråden litt? Jeg holder på med samme øving (hvis vi har samme fag da), men løste oppgaven slik:

Anta at det finnes to unike grenseverdier [tex]\lim_{x \to a} f(x) = L[/tex] og [tex]\lim_{x \to a} g(x) = M[/tex]. Da må det finnes [tex]\delta_1 > 0[/tex] slik at [tex]0 < |x-a| < \delta_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex] og [tex]\delta_2[/tex] slik at [tex]0 < |x-a| < \delta_2 \ \Rightarrow \ |f(x) - M| < \epsilon[/tex].

Anta uten tap av generalitet at L > M. Velger [tex]\epsilon = \frac{|L-M|}{3} = \frac{L-M}{3}[/tex]. Har at [tex]f(x) > L - \frac{L-M}{3}[/tex] og [tex]f(x) < M + \frac{L-M}{3}[/tex]. Men dette vil aldri være mulig da avstanden [tex]L-\frac{L-M}{3} - (M + \frac{L-M}{3}) = \frac{L-M}{3} > 0[/tex]. Da fører antakelsen [tex]M \neq L[/tex] til at f(x) skal være element i to disjunkte intervaller for samme x og antakelsen må være feil.

Holder dette mål?

[Gommle]

Kanskje dere kjenner Sol? :p

[drgz]

Kanskje dere kjenner Sol? :p

Gjør du?

[Gommle]

Indeed.

[Realist1]

Jeg kjenner Sol.

[espen180]

espen180 -- kan det stemme at vi tar MA1101 på NTNU i lag?

Det er det gode sjanser for.

[AndreasSol]

skumle folk ):