Væskeinnhold i øltønne

[Nebuchadnezzar]

Her er en artig liten oppgave. Selv sliter jeg bare med siste, men legger den ut i sin helhet. Så kan jo andre få prøve seg på de første deloppgavene. (Rettet mot deg integralen ^^)

Saken har jeg slik at jeg har en stor øltønne på rommet mitt. Av praktiske hensyn angående størrelsen, så ligger denne tønna. Radiusen til tønna er r meter, og den er b meter bred.

En øltønne er dessverre ikke gjennomsiktig, og det er heller ikke muligheter for å veie tønna. Likevel ønsker jeg å måle hvor mye feriebrus som er igjen i tønna.

I lykkens rus kom jeg opp med en genial idè. Jeg borrer et hull øverst i tønna, og senker ned en pinne til bunnen av tønna. Da er det lett å se hvor mye av pinnen som er våt.

a) Finn en formel V(x) som beskriver hvor mye væske som er igjen i tønna. Her er x, lengden på den delen av pinnen som er våt.

Øltønna er dessverre ikke perfekt sylinderformet, men buler ut på toppen.
Bunnen av tønna har en radius r_1, mens midten av tønna har en radius r_2. Der r_2>r_1

b) Finn en formel V(x) nå, vi antar vi stikker pinnen ned på det dypeste punktet.

Tegning av problemet:

[Knuta]

Mulig inspirasjonskilde?

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=19363

[Nebuchadnezzar]

Funker ikke når den ser slik ut

[Charlatan]

Hvordan buler den da? Er ikke mulig å finne en slik funksjon uten å vite noe om det. F.eks kan tverrsnittet på langs være en elliptisk bue, eller noe liknende.

[Knuta]

Det er vel ingen umulig oppgave. Jeg tegnet ei tønne med disse parameterene, kan den modellen brukes?

Kode: Velg alt

ParametricPlot3D[{Cos[u]*(1 - (v/3)^2), Sin[u]*(1 - (v/3)^2), v}, {u,  0, 2 \[Pi]}, {v, -1.2, 1.2}]

[Nebuchadnezzar]

Stjålet fra et annet forum =)

Of course, in the case of [tex]r(z)=R[/tex], this gives us back what we had before. Given a specific [tex]r(z)[/tex] I am sure there is a way to exploit its form to do this in a simpler way.

Indeed, combining all of this, and taking a slightly different approach to area elements, we obtain the general form

[tex]V(h)=2\int_{-R}^{h-R}\int_0^L\sqrt{r(z)^2-y^2} dz dy[/tex]

for a barrel with flat ends and curvature given by [tex]r(z)[/tex].

EDIT: Virker som en ellipse, med brennpunkt på kantene gir en god tønne. Har enda ikke formelen for en slik ellipse, men tegning under.
Brennpunktene er markert.