Oljetank og 3MX

[Janhaa]

Inspirert av "Gizzepatten er tørst", serveres en vanskelig 3MX oppgave.

En oljetank har form som en rett sylinder. Diameter'n (2r) er 1,24 m og høyden (h) er 2,44 m. Tanken ligger på siden, slik at de sirkelformede endeflatene er vertikale (se bilde). Den fylles med en fart på 0,0045 m[sup]3[/sup]/sek. Hvor fort stiger oljenivået i tanken i det øyeblikket oljen har dybden (x) 0,32 meter?

Hint: Sjekk innlegget - "Gizzepatten er tørst".

[Knuta]

Ingen som har tatt denne? Da gjør jeg et skudd i blinde.

Lett å kalkulere mengden der og da.
Kalkuler arealet av Oljespeilet (vann), Del mengden olje som strømmer ned på Oljespeilet og du har stigningsgraden.

Vi kan generalisere arealet av speilet med hensyn på høyden(x).
[tex]a(x) = 2.44 \cdot \sqrt{0.62^2 - (0.62-x)^2} \cdot 2 = 4.88 \cdot \sqrt{1.24x-x^2}[/tex]

Deretter beregne stigningsgraden
[tex] s(x)=\frac{0.0045}{a(x)}[/tex] ===> [tex]\frac{9}{ 9760 \cdot \sqrt{\frac{31x}{25} - x^2}}[/tex] ferdig forkortet med hensyn på nøyaktighet.

vi fyller inn [tex]s(\frac{32}{100})[/tex] og får [tex]\frac{\sqrt{93150}}{179584}[/tex] meter eller ca. 0.17 cm

[Janhaa]

Stemmer dette Knuta, bra.

(pirk; husk at hastigheten er 0,17 cm/sek = 1,7 mm/sek).

[Knuta]

Ja seff. Glemmer at det pr. sekund ja.

[MatteNoob]

Beklager å røske opp en litt gammel tråd, men jeg ramlet akkurat over denne oppgaven i oppgavesamlingen for 3MX, husket denne og vil gjerne spørre litt

Deretter beregne stigningsgraden
[tex] s(x)=\frac{0.0045}{a(x)}[/tex] ===> [tex]\frac{9}{ 9760 \cdot \sqrt{\frac{31x}{25} - x^2}}[/tex] ferdig forkortet med hensyn på nøyaktighet.

vi fyller inn [tex]s(\frac{32}{100})[/tex] og får [tex]\frac{\sqrt{93150}}{179584}[/tex] meter eller ca. 0.17 cm

Hvor kan jeg lese og lære mer om stigningsgraden [tex]s(x) = \frac{g(x)}{a(x)}[/tex] der [tex]g(x) = 0.0045[/tex]?

[Janhaa]

Beklager å røske opp en litt gammel tråd, men jeg ramlet akkurat over denne oppgaven i oppgavesamlingen for 3MX, husket denne og vil gjerne spørre litt

Deretter beregne stigningsgraden
[tex] s(x)=\frac{0.0045}{a(x)}[/tex] ===> [tex]\frac{9}{ 9760 \cdot \sqrt{\frac{31x}{25} - x^2}}[/tex] ferdig forkortet med hensyn på nøyaktighet.
vi fyller inn [tex]s(\frac{32}{100})[/tex] og får [tex]\frac{\sqrt{93150}}{179584}[/tex] meter eller ca. 0.17 cm

Hvor kan jeg lese og lære mer om stigningsgraden [tex]s(x) = \frac{g(x)}{a(x)}[/tex] der [tex]g(x) = 0.0045[/tex]?

MathNoob
Kommentar;

Jeg løste oppgava på en annen metode.

[MatteNoob]

Janhaa:
Javel? Vil du dele den og kommentere litt da? :]

[Janhaa]

Janhaa:
Javel? Vil du dele den og kommentere litt da? :]

OKey, nå skal vi sjå (hvis jeg husker riktig);

Lager meg ett tversnitt gjennom sylinder'n. Hvor x er avstanden olja står over bunnen. Lager så 2 rettvinkla trekanter. Studerer den ene. Finner halve bredden (y) av oljestanden vha Pytagoras:

[tex]y=\sqrt{0,62-(0,62-x)^2}=\sqrt{1,24x-x^2}[/tex]

arealet av oljeflata er:

[tex]A(x)=2\cdot y \cdot 2,44=4,88\sqrt{1,24x-x^2}[/tex]
---------------------------------
videre er;

[tex]\text {dV\over dt}\,=\,{dV\over dx}\,{dx\over dt}[/tex]

x(t)=x

[tex]V(t)=V=\int A(x)\, {\rm dt}=4,88\int \sqrt{1,24x-x^2}\,{\rm dt}[/tex]

deriverer begge sider

[tex]\text {dV\over dt}=V^,(t)=4,88\sqrt{1,24x-x^2}\,\frac{dx}{dt}[/tex]

[tex]0,0045=4,88\sqrt{1,24\cdot0,32-(0,32)^2}\,\frac{dx}{dt}[/tex]

[tex]\frac{dx}{dt}=x^,(t)=1,7\cdot 10^{-3}\,(m/s)=0,17\,(cm/s)[/tex]

[MatteNoob]

Takk skal du ha, mister.

Hva slags "gren" burde man sjekke ut når man er ferdig med 3MX? Har du noen gode råd når det gjelder kalkulus-litteratur? (Har egentlig ikke tid til altfor mye matte fremover nå, men har jo fått helt dilla...)

Tror du denne er noe å satse på? Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions

[Karl_Erik]

Skal du være litt plain kan du bare skaffe deg boka med den fengende tittelen "Kalkulus" av Tom Lindstrøm - brukes til innføringsemnet MAT1100 - Kalkulus ved UiO og egner seg helt greit til selvstudium

[Janhaa]

Takk skal du ha, mister.
Hva slags "gren" burde man sjekke ut når man er ferdig med 3MX? Har du noen gode råd når det gjelder kalkulus-litteratur? (Har egentlig ikke tid til altfor mye matte fremover nå, men har jo fått helt dilla...)
Tror du denne er noe å satse på? Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions

Nå er det jo noen år sia jeg sysla med analyse I/II. Men boka du nevner
er vel grei. ER sikkert han Edwards fra en bok med forfatterne Edwards & Penney som jeg bl a brukte. Den var ok.
En annen bok er jo den Karl Erik nevner med prof. Lindstrøm fra UiO. Personlig liker jeg ikke bøker på norsk, men ok med supplement.
Boka jeg brukte i sin tid på ingeniørhøgskolen i Oslo var Thomas & Finney - synes den var bra. Nå er vel navn/tittel endra til

http://www.amazon.com/Thomas-Calculus-1 ... 0201441411

Disse tre bøkene dekka stort sett analyse I (Calculus) kurset og analyse II (multivariable analysis) kurset.

(jeg skulle gjerne tatt kurs i kompleks analyse, tallteori,... ).