matematikk.net

Oppgaven som pdf:

OPPG.6 (del 2 )

Interessant problem , og gjerne ei litt hard nøtt å knekke for dei fleste kandidatane , vil eg tru.

Har prøvd å vise formelen med to ulike integrasjonsmetodar:

Utgangspunktet for begge metodane er sirkellikninga : ( x - a )^2 + y^2 = R^2 ( sirkel med sentrum i punktet S( a ,0 ) og radius lik
R )
Metode 1: Eit snitt vinkelrett y-aksen gir ein sirkelring med areal A( y ) = Areal( ytre sirkel ) - Areal( indre sirkel )

Volumet V = integral( A( y ) dy ) , y = - R (nedre grense ) og y = R ( øvre grense ) )

Metode 2: Integrasjon langs x - aksen: Deler opp kroppen i uendeleg mange, uendeleg tynne sylinderveggar. Kvart volumelement blir da eit rektangel med volum

d( V(x ) ) = grunnlinja( x ) * høgda( h ) * dx ( tykkelsen på volumelementet ) = 2 * p i* x ( omkretsen til sirkel med radius r = x ) * 2 * y ( h = 2 y ) * dx

Når vi summerer opp alle volumelementa , får vi samla volum

V = integral( d(V( x ) , x = a - R( nedre grense ) og x = a + R ( øvre grense ) )

Sluttkommentar: I begge tilfella får eg fasitsvaret med følgjande tillegg : sqn( R ) . Kan nokon fortelje meg korleis eg skal tolke dette uttrykket ?

Mattebruker har her, som så mange ganger før, kommet med en tankevekkende kommentar til et matematikkproblem: Hva blir volumet av omdreiningslegemet som oppstår når sirkelen med sentrum (a,0) og radius R <a dreies om y-aksen? Det dreier seg om en eksamensoppgave nå, høsten 2024. Oppgaven gir løsningen 2π^2aR^2, og eksaminanden blir bedt om å begrunne formelen som presenteres.
2π^2aR^2 = 2πa * πR^2. Høyresiden i denne identiteten gir formelen for volumet av en sylinder med grunnflate πR^2 og. lengde 2πa. Legemet som dannes, er en bøyd sylinder ser det ut som , en torus, en "smultring" hvor endeflatene i sylinderen har blitt presset mot hverandre. Kunne ikke dette være en god nok begrunnelse? En innvending er at det ikke er umiddelbart klart at den sammenpressingen som skjer av den indre siden av torusen nøyaktig kompenseres av utstrekkingen av den ytre siden med hensyn til volumet av sylinderen. Men det som er åpenbart, er at omkretsen av midtlinjen, altså midtsirkelen, er den samme = 2πa for alle sirkelringer som dannes for alle sirkelringbredder fra 0 til 2R. La sirkelringbreddene 2x, hvor x går fra 0 til R, multipliseres med et infinitesimalt tillegg dy. Summen av disse uendelig mange uendelig små arealene må være arealet nøyaktig begrenset av sirkelen πR^2. Arealet av torusen blir derfor πR^2 * 2πa. Jeg fikk forøvrig dette uttrykket for volumet når jeg integrerte 2πa * 2x = 2πa * 2√(R^2 - y^2) fra y =-R til R.

Løsningsforslag sendt til cosinus@matematikk.net: