Partallsbevis

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Partallsbevis

Innlegg Tåkelur » 19/09-2020 14:37

Dersom x^2+y^2 er et partall er også x+y et partall
Sliter med fremgangsmåten på denne oppgaven. Hadde fått den til om vi hadde fått vite at x og y er et partall/oddetall, men siden summen av disse skal være et partall synes jeg oppgaven fort blir en del vanskeligere. Har prøvd meg frem uten hell:

Forsøk på løsning:
Forsøker å gjøre et kontrapositivt bevis, dersom x+y er et oddetall, er også x^2+y^2 et oddetall.

x+y = 2k+1

x= 2k+1-y
y= 2k+1-x

x^2+y^2 = (2k+1-y)^2 + (2k+1-x)^2 = 4k^2 + 1 - y^2 + 4k^2 + 1 - x^2
Får da at:

x^2 + y^2 = 8k^2 + 2
Dersom jeg faktoriserer dette får jeg at x^2 + y^2 er et partall:

x^2 + y^2 = 2(4k^2+1)
siden (4k^2+1) er et vilkårlig heltall: x^2+y^2 = 2n = partall.

Hva gjør jeg feil?
Tåkelur offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 19/09-2020 14:26

Re: Partallsbevis

Innlegg Gustav » 19/09-2020 14:54

Tåkelur skrev:Dersom x^2+y^2 er et partall er også x+y et partall
Sliter med fremgangsmåten på denne oppgaven. Hadde fått den til om vi hadde fått vite at x og y er et partall/oddetall, men siden summen av disse skal være et partall synes jeg oppgaven fort blir en del vanskeligere. Har prøvd meg frem uten hell:

Forsøk på løsning:
Forsøker å gjøre et kontrapositivt bevis, dersom x+y er et oddetall, er også x^2+y^2 et oddetall.


La $x+y$ være odde. Da er $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ odde, men da må $x^2+y^2$ være odde siden $2xy$ er like.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4440
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Partallsbevis

Innlegg SveinR » 19/09-2020 14:56

Når det gjelder din fremgangsmåte: Se først på utregningen din av parentesene som er kvadrert. Her ser det ut til at du tenker at $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$, men dette stemmer ikke - husk kvadratsetningen, at $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Har vi tre ledd i parentesen blir det enda fler "kryssledd" i utregningen.

Det kan hjelpe å regne ut $(2k+1-y)^2$ ved å skrive det som $\bigl((2k+1)-y\bigr)^2 = (2k+1)^2 - 2\cdot (2k+1)\cdot y + y^2$. Hva ender du med til slutt om du nå regner ut?
SveinR offline
Brahmagupta
Brahmagupta
Innlegg: 350
Registrert: 22/05-2018 21:12

Re: Partallsbevis

Innlegg Tåkelur » 19/09-2020 15:46

Gustav skrev:La $x+y$ være odde. Da er $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ odde, men da må $x^2+y^2$ være odde siden $2xy$ er like.


Takk, tror jeg forstår hva du mener. siden x+y er odde må også $(x+y)^2$ være odde. Og $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.
Vi vet at 2xy er et partall siden det er delelig på to, så derfor må $x^2+y^2$ være et oddetall for at hele summen skal bli et oddetall.
Men her må jeg vel strengt tatt bevise videre at et partall + et oddetall = et oddetall?

Altså:
$2xy+(x^2+y^2)=
2k+(2n+1)=
2k + 2n + 1 =
(2k+2n) + 1$
Vi vet at 2k og 2n er to hele partall, vi kan skrive disse som 2m og får
$2m+1$ som er definisjonen på et oddetall.

Har dermed bevist at dersom $x^2+y^2$ er et oddetall så er $x+y$ et oddetall.
Tåkelur offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 19/09-2020 14:26

Re: Partallsbevis

Innlegg Tåkelur » 19/09-2020 16:33

SveinR skrev:Når det gjelder din fremgangsmåte: Se først på utregningen din av parentesene som er kvadrert. Her ser det ut til at du tenker at $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$, men dette stemmer ikke - husk kvadratsetningen, at $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Har vi tre ledd i parentesen blir det enda fler "kryssledd" i utregningen.

Det kan hjelpe å regne ut $(2k+1-y)^2$ ved å skrive det som $\bigl((2k+1)-y\bigr)^2 = (2k+1)^2 - 2\cdot (2k+1)\cdot y + y^2$. Hva ender du med til slutt om du nå regner ut?


Se der ja, det gikk litt fort når jeg løste opp parantesene. Løste dem opp som om det skulle vært ganger mellom dem, og ikke tre forskjellige ledd. :oops:

Dersom jeg gjør det som du foreslår (setter inn parantesene for x og y og regner ut) ender jeg opp med
$x^2+y^2+8k^2+8k-4ky-4kx-2y-2x+2 = 2m+1$

Faktoriserer til
$x^2+y^2+2(4k^2+4k-2ky-2kx-y-x+1)=2m+1$

Siden alt er heltall kan dette skrives som
$x^2+y^2+2(n)=2m+1$

Trekker fra 2n og får
$x^2+y^2=2m+1-2n$

Beviser så at et oddetall-partall = et oddetall:
$2m+1-2n=2(m-n)+1$

Siden m og n er heltall kan det skrives om til
$2l+1$ som er definisjonen på et oddetall.

$x^2+y^2=2l+1$

Har dermed bevist at dersom $x+y$ er et oddetall er også $x^2+y^2$ et oddetall. Ved kontrapositivt bevis har jeg derfor også bevist at dersom $x^2+y^2$ er et partall, er også $x+y$ et partall.

Takker så mye for hjelpen!
Tåkelur offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 19/09-2020 14:26

Re: Partallsbevis

Innlegg Gustav » 20/09-2020 01:50

Tåkelur skrev:Men her må jeg vel strengt tatt bevise videre at et partall + et oddetall = et oddetall?

Ja, men dette er vel ganske åpenbart? Modulo $2$ er dette det samme som at $0+1=1$.

Alternativt: Et partall kan skrives på formen $2k$ for et heltall $k$, mens et oddetall kan skrives på formen $2l+1$ for et heltall $l$. Dermed er summen av et partall og et oddetall $2k+(2l+1)=2(k+l)+1$, som altså er på formen til et oddetall.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4440
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Partallsbevis

Innlegg Tåkelur » 20/09-2020 11:07

Gustav skrev:
Tåkelur skrev:Men her må jeg vel strengt tatt bevise videre at et partall + et oddetall = et oddetall?

Ja, men dette er vel ganske åpenbart? Modulo $2$ er dette det samme som at $0+1=1$.


Ja, det er sant. Igjen, takk for hjelpen! Har forstått hva jeg gjorde feil, og hvordan jeg skal gå frem.
Tåkelur offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 19/09-2020 14:26

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 87 gjester