Dobbeltderiverttest vs. fortegnslinjeskjema

[turbobjørn offline]

Hei!

R1 H16 2) b).

NDLA bruker her dobbeltderiverttesten for å avgjøre om hva som er topp- og bunnpunkt, mens Dennis Christensen tegner fortegnslineskjema.
Spørsmålet mitt er: hvilken metode bør man bruke?

Dersom et av punktene var et terassepunkt (altså ikke et ekstremalpunkt(topp- eller bunnpunkt)), hva ville dobbeltderiverttesen gitt oss da? Og hvordan kan man med den metoden ta høyde for terassepunkt?

Edit:

Her er LF av DC: https://matematikk.net/side/R1_2016_h%C ... C3%98SNING
Her er LF av NDLA: https://ndla.no/nb/subjects/subject:32/ ... e:1:192886

[Aleks855]

Spørsmålet "hvilken metode BØR man bruke?" er ofte veldig vanskelig å svare på. Svaret er at det finnes mange metoder å avgjøre samme sak på, og her demonstreres to av dem. Det er egentlig opp til deg å bruke den metoden du liker best, og ha den andre i bakhodet i tilfelle du vil dobbeltsjekke.

Når det gjelder terassepunkt; hvorfor ikke betrakte en funksjon som du vet har et terrassepunkt, og se hva som skjer med den andrederiverte i og rundt det punktet?

[turbobjørn offline]

Spørsmålet "hvilken metode BØR man bruke?" er ofte veldig vanskelig å svare på. Svaret er at det finnes mange metoder å avgjøre samme sak på, og her demonstreres to av dem. Det er egentlig opp til deg å bruke den metoden du liker best, og ha den andre i bakhodet i tilfelle du vil dobbeltsjekke.

Når det gjelder terassepunkt; hvorfor ikke betrakte en funksjon som du vet har et terrassepunkt, og se hva som skjer med den andrederiverte i og rundt det punktet?

Ser på [tex]f(x)=x^3[/tex]. Denne vil ha et terassepunkt i x=0 fordi den deriverte her er 0 og positiv både før og etter.

Tar man dobbeltderiverttesten får man [tex]f''(0)=0[/tex]. Det tyder på at dersom man bruker dobbeltderiverttesten og man får:
* <0 --> Toppunkt
* 0 --> Terassepunkt
* >0 --> Bunnpunkt

Vil dette alltid stemme, eller kan man få "falske løsninger"? (Altså man tror det er et terassepunkt pga. f''=0, men så er det ikke det).

[Aleks855]

Det interessante med andrederiverttesten her er to ting. Ja, den er 0 i punktet, men den bytter fortegn.

Hvis vi ser på $x^3$ for $x<0$, så ser vi at den er på vei oppover, men den er i ferd med å flate ut og deretter gå nedover. Dette kjennetegnes av en negativ andrederivert. Den negative andrederiverte forteller oss at funksjonen har en "tendens" i dette området til å synke, selv om den kanskje er på vei oppover foreløpig.

Dette kan vi også se dersom vi betrakter funksjonen $g(x) = -x^2$, som også vil ha negativ andrederivert. Men $g(x)$ vil deretter faktisk gå nedover, i tråd med tendensen som den andrederiverte forteller oss.

$f(x) = x^3$ gjør ikke det. Den flater ut, og starter deretter en ny tendens. Dette beskrives også av den andrederiverte i dette punktet. Ikke bare fordi den ble $0$, men fordi den bytter fortegn.

Dette er det som er interessant med den andrederiverte. Den bryr seg ikke om funksjonen går oppover eller nedover akkurat nå, men ser heller på den generelle tendensen til funksjonen. $g(x) = -x^2$ går riktignok oppover for $x<0$, men den negative andrederiverte i det samme område forteller oss at det er en midlertidig greie, og forutser at dette vil endres.

For $x^3$ ser vi at den "går oppover, men flater ut" (negativ andrederivert), men deretter fortetter med en oppover-tendens for $x>0$ (positiv andrederivert).

[turbobjørn offline]

Takk for grundig forklaring.