La a være et gitt reelt tall

[Tonyy]

La a være et gitt, reelt tall slik at a > 2. La funksjonen f : R → R være definert ved
f (x) = |x| · (a + x)

a) Finn eventuelle nullpunkter for f . Finnes det punkter der f ikke er deriverbar

b) Avgjør hvor f vokser og avtar, og angi eventuelle lokale og globale ekstremalpunkter
med tilhørende ekstremalverdier.

c) Avgjør hvor f er konveks og konkav, og angi eventuelle vendepunkter. Skisser
grafen til f .


Jeg kommer dessverre ingen vei med denne oppgaven. Jeg vet ikke engang hvordan jeg skal starte på deloppgave a

[Vektormannen]

a) Nullpunkter tror jeg du kan finne. Da er du ute etter alle x som gjør at f(x) = 0.

Når det gjelder deriverbarhet så kan det lønne seg å skrive om funksjonen litt. Absoluttverdien er definert som [tex]|x| = x[/tex] når [tex]x \geq 0[/tex] og [tex]|x| = -x[/tex] når x < 0. Vi kan da skrive f som

[tex]f(x) = \left\{\begin{array} x(a+x), & \quad x \geq 0\\ -x(a+x), & x < 0\end{array}\right.[/tex]

Er du med på det? Er f deriverbar for x > 0 og x < 0? Hva med x = 0?

b og c kan du se på når du har fått til a.

[Tonyy]

Takk for raskt svar Vektromannen:)

Først: Jeg trenger ikke faktorisere funksjonen i dette tilfellet for å finne nullpunktene? Hvis nei, blir da nullpunktene |x|=0 og a + x=0?

Andre: Når du skriver ¨Er f deriverbar for x > 0 og x < 0? Hva med x = 0?¨ så tenker jeg at f ikke er deriverbar når x=0 siden funksjonen blir da 0. Tenker jeg riktig da?

[Vektormannen]

Først: Funksjonsuttrykket er jo allerede skrevet som et produkt, er det ikke? Det er jo det faktorisering går ut på, så her blir ikke det nødvendig. Som du sier får vi at f(x) = 0 når |x| = 0 eller når a+x = 0.

Andre: At funksjonen blir 0 har ingenting med saken å gjøre. Funksjonen f(x) = x er deriverbar i x = 0, men funksjonen er jo 0 når x = 0. Du mente kanskje noe annet?

Hvis vi ser på x > 0 så er funksjonsuttrykket til f et polynom, og vi vet at alle polynomer er deriverbare. Det samme gjelder når x < 0. Så, som du sier, x = 0 er det eneste stedet vi eventuelt kan få problemer, for akkurat der bytter funksjonen funksjonsuttrykk fra det øverste til det nederste.

I slike tilfeller er det definisjonen av den deriverte du må benytte deg av. Hva er den deriverte i x = 0 i følge definisjonen?

[Lord X]

Ja, nullpunkta blir x=0 og x=-a (som følger fra a+x=0).

Andre: Når du skriver ¨Er f deriverbar for x > 0 og x < 0? Hva med x = 0?¨ så tenker jeg at f ikke er deriverbar når x=0 siden funksjonen blir da 0. Tenker jeg riktig da?

Nei, dette blir ikkje heilt riktig. Funksjonen kan godt vere deriverbar sjølv om funksjonsveriden er 0. Men la oss ta det litt grundig:

For x>0 er funksjonen gitt ved [tex]f(x)=ax+x^{2}[/tex], og denne er "opplagt" deriverbar i slike punkter (dvs. x>0). Ser du kvifor? Det same gjeld x<0.

Det som gjer tilfellet x=0 annleis er at funksjonen er definert forskjellig på begge sider av null, og det er ikkje sikker at desse definisjonane "passar saman" på ein slik måte at heile funksjonen blir deriverbar i punktet (sjølv om han som sagt er det overalt ellers).

Du må sjå på definisjonen av den deriverte og vise om [tex]f^{\prime}(0)[/tex] eksisterer eller ikkje.

EDIT: Ser Vektormannen kom meg i forkjøpet.

[Tonyy]

Takk til dere begge:) Men jeg trenger fortsatt hjelp med deloppgave b.


b)Avgjør hvor f vokser og avtar, og angi eventuelle lokale og globale ekstremalpunkter med tilhørende ekstremalverdier.

Ekstremalpunkter er vel topppunkter og bunnpunkter hvis jeg ikke tar feil. Og for å finne disse må jeg derivere f (x) = |x| · (a + x). Jeg får da f´(x)=a+2x.

Jeg har da funnet bunnpunktet til å være x=0 og toppunktet til å være x=a/2.

Har jeg gått tiktig frem her?

[Lord X]

Du har forsåvidt fått rett svar ang. topp- og bunnpunkt(med unntak av forteikn; det skal vere -a/2, ikkje a/2!), men hugs på at funksjonen er definert forskjellig for x>0 og for x<0. For x>0 er [tex]f(x)=ax+x^{2}[/tex], så her blir den deriverte lik [tex]a+2x[/tex], medan for x<0 blir den deriverte lik [tex]-a-2x[/tex]. Men begge desse likningane same nullpunkt, nemleg [tex]=-\frac{a}{2}[/tex], så du er absolutt inne på noko!

I tillegg må du sjå på punktet x=0 der den deriverte ikkje er definert. Ved å sjekke forteikn til den deriverte ser vi at x=0 blir lokalt minimumspunkt og x=-a/2 lokalt maksimum (som du seier).

[Tonyy]

Takk til deg Lord X:) Da anser jeg den oppgaven som avsluttet. Får høre mer med min gruppelærer:)