Eksakt trigonometrisk verdi

[malef]

Etter å ha lest idenne tråden fant jeg en eksakt verdi for [tex]\sin(67,5^{\circ})[/tex]:

[tex]\sin(67,5^{\circ})=\sin\left(\frac{135^{\circ}}{2}\right) \\ = \sqrt{\frac{1- \cos (135^{\circ})}{2}} \\ = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\ \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex]

Metoden ser ut til å fungere, men det er et trinn jeg ikke skjønner:

Hvorfor får vi

[tex]\sqrt{\frac{1- \cos (135^{\circ})}{2}}[/tex]

og ikke

[tex]\sqrt{1- \cos \left(\frac{135^{\circ}}{2}\right)}[/tex]

Veldig flott om noen kunne forklart det

[Vektormannen]

Formelen er: [tex]\cos(2v) = 1 - 2\sin^2 v[/tex]

Da får vi at [tex]\cos(135^\circ) = 1 - 2 \sin^2 (67.5^\circ)[/tex], som gir [tex]\sin^2 (67.5^\circ) = \frac{1-\cos(135^\circ)}{2}[/tex] og så videre. Med på dette?

Hvis ikke, hvorfor mener du at [tex]\sqrt{1-\cos\left(\frac{135^\circ}{2}\right)}[/tex] skal være riktig?

[malef]

Takk for svar! Jeg strever visst veldig med å skjønne dette

Vi har altså at
[tex]\sin^2 (67.5^\circ) = \frac{1-\cos(135^\circ)}{2}[/tex]

Men det må vel bety at [tex]\sin^2 (67.5^\circ) = \frac{\sin^2 (135^\circ) }{2}[/tex]

Der faller jeg av. I og med at [tex] \frac{135}{2}=67,5[/tex], kan jeg ikke få inn i hodet nevneren ikke skal inn i parentesen.

[Vektormannen]

Hvorfor mener du at [tex]1-\cos(135^\circ) = \sin^2(135^\circ)[/tex]?

[malef]

Hvorfor mener du at [tex]1-\cos(135^\circ) = \sin^2(135^\circ)[/tex]?

Det er et godt spørsmål. Men jeg mener ikke det, tror jeg ...

Jeg skal prøve å forklare bedre hva jeg mener:

Vi har altså at
[tex]\sin^2 (67.5^\circ) = \frac{1-\cos(135^\circ)}{2}[/tex]

Siden [tex]\sin^2x=1-\cos^2x[/tex]

må vel [tex]\sin^2(67,5^{\circ})=1-\cos^2(67,5^{\circ})=1-\cos^2 \left(\frac{135^{\circ}}{2} \right)[/tex]

Det jeg ikke skjønner, er hvorfor dette er lik [tex]\frac{1-\cos(135^{\circ})}{2}[/tex]. Hva har skjedd?

[Vektormannen]

Det har ikke skjedd noe tror jeg

Vi har at [tex]\cos(2v) = 1 - 2\sin^2 v[/tex] (dette er en av formlene fra den andre tråden)! Det eneste jeg har gjort er å sette inn tallene.

Jeg ser ikke at dette er i konflikt med at [tex]\sin^2(67.5^\circ)[/tex] også er lik [tex]1-\cos^2(67.5^\circ)[/tex]?

[malef]

Nå tror jeg kanskje skylappene forsvant!

Selv om vi skal finne [tex]\sin(67,5^{\circ})[/tex], begynner vi med [tex]\cos(2v)[/tex] - rett og slett fordi vi har den greie formelen?

[tex]\cos(135^{\circ})=1-2\sin^2(67,5^{\circ}) \\ 2 \sin^2(67,5^{\circ})=1-\cos(135^{\circ}) \\ \sin^2(67,5^{\circ})=\frac{1-\cos(135^{\circ})}{2}[/tex]

Så tar vi roten av begge sider:

[tex]\sin(67,5^{\circ})= \sqrt{\frac{1-\cos(135^{\circ})}{2}}[/tex]

Og deretter er det bare å bytte ut med [tex]- \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] og fikse litt.

Om dette stemmer, var det jo slett ikke så vanskelig.

Edit: Normalt skulle det vel vært [tex]\pm[/tex] før rottegnet, men vi vet at vi er i andre kvadrant, og dropper det av den grunn?

[Vektormannen]

Det stemmer ja (også det med fortegnet)!

Vi velger å bruke denne formelen nettopp fordi den involverer cosinus av den dobbelte vinkelen, en vinkel som er lettere å finne en eksakt verdi for. Hvis vi hadde brukt [tex]\sin^2 v = 1 - \cos^2 v[/tex] hadde vi ikke kommet noe lenger. Da ville problemet i neste omgang blitt å finne [tex]\cos (67.5^\circ)[/tex], som er en like vanskelig oppgave.

[malef]

Hjertelig takk for hjelpen og tålmodigheten! Det var en stor lettelse å endelig få kontroll på dette