Betinget sannsynlighet

[malef]

Nina trekker ut to kort fra en kortstokk. Finn sannsynligheten for at det første kortet er en hjerter, og det andre kortet er en hjerter.

Her har jeg problemer med å tilordne hendelsene.

A=trekker hjerter 1. gang
B=trekker hjerter 2. gang

[tex]P(A)= \frac {13}{52} = \frac {1}{4} \\ P(B)= \frac {12}{51}= \frac{4}{17}[/tex]

For å finne svaret må jeg vel bruke formelen [tex]P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}[/tex]
Men hva blir [tex]P(A \cap B)[/tex]?

[2357]

B=trekker hjerter 2. gang

[tex]P(B)= \frac {12}{51}= \frac{4}{17}[/tex]

Denne begivenheten er betinget og avhenger av hva Nina trakk som første kort. Det du har er [tex]P(B \mid A) = \frac{12}{51} [/tex].

Så vrir du litt på formelen og får [tex]P(A \cap B) = P(B \mid A) P(A)[/tex], som er det du ønsker å finne.

[malef]

Takk! Jeg skjønte rett og slett ikke at oppgaven spurte etter [tex]P(A \cap B)[/tex]. Hvordan kan man tegne dette i et venn-diagram?

[Nebuchadnezzar]

Prøv og ikke tenk så mye på formler, eller hvordan skal jeg tegne denne sannsynligheten i dette systemet.

Tenk heller på hvordan du selv ville prøvd å løst problemet uten bok. Er ikke problemet logisk for deg å sette opp i ett venndiagram, så bruker man ikke det. Man tegner for å hjelpe seg selv =)

Mer generellt sett så tegner jeg venndiagram om man har noe som kan være flere deler. For eksempel om en har noen som bruker bukser, noen som bruker solbriller. Og noen som bruker begge deler.

Her er det ikke så lurt å bruke venndiagram siden enten er kortet hjerter, eller så er det ikke hjerter. På samme måte om vi trekker blå og grønne baller fra en hatt, så kan ikke ballene være grønne og blå samtidig.

Jeg sier ikke at det ikke er mulig å tegne problemet i ett venndiagram, bare at det ikke er så stor nytte.

Om jeg skulle tegnet problemet ville jeg tegnet det som vist under



Her tenker jeg som følger. JEg har noen kort i en kortstokk. Jeg "definerer" to mulige utfall. Hjerter (H) og ikke hjerter. Når jeg trekker første gang, er det to mulige utfall: Hjerter og ikke hjerter. Så skriver jeg opp sannsynlighetene for disse to utfallene langs grenene.

For å finne den totalle sannsynligheten summerer jeg bare opp sannsynlighetene langs alle grenene, som inneholder den fordelingen jeg vil ha.

Mer konkrt ønsker jeg her å summere opp alle grenene som inneholder nøyaktig en H på andre trekket. Vi ser at det er to grener som gir dette.
Om vi skal skrive det med matematisk (tullpreik ^^) Skriver vi det som følger

[tex]P = P(H \cap H) + P(K \cap H) = P(H)P(H|H) + P(K)P(H|K)[/tex]

Men som sagt, det er mye lettere å bare se på tegningen. Bayes formel syntes jeg også er meningsløs å pugge. Er bare å tegne, og legge sammen grener.

http://www.matemania.no/fordypning/pdf/ ... k_10_4.pdf

[malef]

Takk for grundig forklaring! Må nok øve en del med den matematiske notasjonen. Blander tydeligvis [tex]P(B|A)[/tex] og [tex]P(A \cap B)[/tex]. Får terpe en del og prøve ulike tegninger, så må det vel trenge inn til slutt.

[Nebuchadnezzar]

Som sagt, ville bare anbefalt deg (om mulig) å glemme den "fancy" notasjonen og heller tenke på hva du faktisk driver med =)

Men en kort forklaring på notasjon er gitt under.

[tex]P(A) \qquad[/tex] Sannsynligheten for at [tex]A[/tex] inntreffer.

[tex]P(A \cap B) \qquad[/tex] Sannnsynligheten for [tex]A[/tex] inntreffer først også [tex]B[/tex].

[tex]P(A \cup B) \qquad[/tex] Sannsynligheten for [tex]A[/tex] og eller [tex]B[/tex] inntreffer. (All sannsynlighet som innvolverer [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex])

[tex]P(A \mid B)[/tex] sannsynligheten for at [tex]A[/tex] inntreffer når [tex]B[/tex] allerede har inntruffet.

Men ja, gir litt mer mening om en tegner venndiagram. Og regn til du spyr, så begynner ting å gi mening =)