Sum av sannsynligheter

[malef]

Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt helt tall er delelig med 2 eller 3.

Hvordan skal jeg gripe an denne oppgaven?

[Vektormannen]

Du har tre 'typer' tall i denne sammenhengen: De tallene som er delelige på 2, de som er delelige på 3, og de som er delelige på både 2 og 3.

Hvis vi definerer hendelsene A = "tallet er delelig på 2" og B = "tallet er delelig på 3" så er vi her ute etter P(A U B), ikke sant? Er hendelsene A og B avhengige eller uavhengige (hvis det er et kjent begrep for deg)? Hva blir uttrykket for P(A U B)?

[malef]

Takk for svar!

Jeg er med på at at P(A U B)=P(A)+P(B)-P(tall som er delelige på både 2 og 3). Det vil vel si at hendelsene A og B er avhengige av hverandre? Hva jeg gjør videre for å løse oppgaven, er likevel ikke klart for meg

[Vektormannen]

Du har tenkt riktig så langt! [tex]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)[/tex] siden hendelsene er avhengige (ikke omvendt!)

Da gjenstår det å finne de tre sannsynlighetene. Hvis du ser på tallrekken, er du enig i at annenhvert tall er delelig på 2? Hvor ofte forekommer tall som er delelige på 3? Hvor ofte forekommer tall som er delelige på både 2 og 3?

[malef]

Kjempegod forklaring! Nå kan jeg ikke skjønne hvorfor jeg ikke skjønte det med en gang

[tex]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{6} = \frac{2}{3}[/tex]

Det stemmer med fasiten, så det må være riktig

[Vektormannen]

Ser riktig ut det ja!

[Nebuchadnezzar]

Bare for å supplimentere den gode forklaringen til vektormannen (Og gi meg en god unnskyldning til å tegne) så kan også problemet bli illustrert av et venndiagram, som vist under



Det å tegne sannsynligheter, å bare leke seg litt med venndiagrammer, og valgtre hjelper enormt =)

[malef]

Boken har nettopp introdusert venndiagrammer, og det ser jo genialt ut! Har tegnet et par allerede, og kommer til å fortsette med det

[Nebuchadnezzar]

Hva er sannsynligheten for at et tall ikke delelig på 7 eller 2?

Tegning er kos ja, viktig å bli gode venner med dem

[malef]

A=delelig på 2
B= delelig på 7

[tex]P(A \cup B) = P(A)+P(B)-p(A \cap B)= \frac{1}{2}+ \frac{1}{7}- \frac{1}{14}= \frac{4}{7} \\ P(ikke A \cup B) = 1- \frac{4}{7}= \frac{3}{7}[/tex]
Riktig?

[Nebuchadnezzar]

=)

Og bruk[tex] \ \bar{A} \ [/tex] eller [tex]\ \overline{A}\ [/tex] for ikke A

[malef]

Takk

Blir det da slik: [tex]P( \bar{A} \cup \bar{B})[/tex]?

[Nebuchadnezzar]

Yes

[2357]

Det kan være greit å vite at notasjonen [tex]A^{\prime}[/tex] og [tex]A^c[/tex] er likeverdig med [tex]\bar A[/tex].

[malef]

Jeg kunne altså valgt fritt blant disse tre alternativene?

[tex]P( \bar{A} \cup \bar{B}) = 1- \frac{4}{7}= \frac{3}{7} \\ P(A^{\prime} \cup C^{\prime}) = 1- \frac{4}{7}= \frac{3}{7} \\ P(A^c \cup B^c) = 1- \frac{4}{7}= \frac{3}{7}[/tex]