Terminprøve R1 Våren 2010

[Nebuchadnezzar]

Terminprøve R1 Våren 2010

Del 1 (2timer)


Oppgave 1

a) Deriver funksjonene

[tex]\qquad[/tex]1) [tex]f(x)\,=\,x\cdot \ln(4x)[/tex]
[tex]\qquad[/tex]2) [tex]g(x)\,=\,6(5-x)^3[/tex]


b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer
[tex]\lim_{x\to7}\,\frac{x^2-49}{2x-14}[/tex]

c) Skriv så enkelt som mulig:[tex] \qquad \ln\left(\frac{9}{x^3}\right)+\ln\left(\frac{x}{3}\right)+\ln(x^2)[/tex]

d) La f være polynomfunksjonen gitt ved [tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
1) Regn ut [tex]f(2)[/tex] og faktoriser [tex]f(x)[/tex] i linære faktorer
2) Løs ulikheten [tex]f(x)<0[/tex]

e) figuren viser grafen til en funksjon [tex]f[/tex] med to asymptoter. Bruk figuren til å tegne fortegnslinje for [tex]f(x)[/tex], den førstederiverte og den andrederiverte. Bestem verdimengden til funksjonen


Oppgave 2

Slå en sirkel på innføringsarket. anta at vi ikke kjenner beliggenheten av sentrum til sirkelen. Vis ved konstruksjon hvordan vi kan finne sentrum.
Merk av et punkt [tex]T[/tex] utenfor sirkelen. Konstruer tangentene fra [tex]T [/tex]til sirkelen.


Oppgave 3

a) forklar hvorfor vektorene [tex][a,b][/tex] og [tex][-b,a][/tex] står vinkelrett på hverandre
b) Trekanten [tex]PQR[/tex] har hjørnene [tex]P(1,2) \; , \; Q(9,3) \; , \; R(9,-4)[/tex]
Bestem vektorene [tex]\; \vec{PR} \; , \; \vec{QR}[/tex] og [tex]|\vec{PR}|[/tex]
c) Undersøk ved regning om [tex]\vec{PR}[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec{QR}[/tex]
d) Finn en parameterframstilling for linja [tex]l[/tex] gjennom [tex]P[/tex] og [tex]Q[/tex]
e) Finn et punkt [tex]N[/tex] på [tex]l[/tex] slik at [tex]PQ \, \bot \,RN[/tex]
f) Finn likninga for linja [tex]m[/tex] gjennom [tex]R[/tex] og [tex]N[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Del 2 (Tre timer)

Oppgave 4

Funksjonen [tex]f(x)[/tex] er gitt ved [tex]f(x)=x^4+2x^3-5x^2[/tex]

a) Finn nullpunktene til funksjonen og skjæringspunktet med y aksen
b) Finn [tex]f^{\tiny\prime}(x)[/tex] , tegn et fortegnsskjema for den deriverte og finn topp. og bunnpunktene til funksjonen
c) Finn [tex]f^{\tiny\prime\tiny\prime}(x)[/tex] og bestem hvordan grafen krummer.
d) Bestem vendetetangentene til [tex]f[/tex].
e) Tegn grafen til [tex]f[/tex] med vendetangenter
f) Vi har likningen [tex]f(x)\,=\,k[/tex]. Bestem for hvilke [tex]k[/tex]-verdier som gir [tex]0\,,\,1\,,\,2\,,\,3[/tex] og [tex]4[/tex] løsninger.


Oppgave 5

En partikkel følger banen til vektorfunksjonen gitt ved [tex]\vec{\,r(t)\,}\,=\,[4t^2-5t\,,\,2e^t][/tex]
der [tex]t[/tex] er tiden målt i sekunder

a) Bestem hvor partikkelen er etter [tex]2[/tex] sekunder.
b) Bestem farten etter [tex]2[/tex] sekunder.
c) Finn akselerasjonsvektoren og bestem akselerasjonen etter 3 sekunder.
d) Avgjør om fartvektoren er paralell med aksene for noen verdier av t.
e) Bestem hvor kurven skjærer aksene.
f) Skisser kurven for [tex]t\in [0\,,\,2][/tex]


Oppgave 6

Et legefirma prøver ut en ny blodprøvetype for fugleinfluensa. Prøven vil oppdage fugleinfluense i [tex]90\percen[/tex]t avv tilfellene, men i tillegg så vil den gi en såkalt falsk positiv prøve i [tex]5\percent[/tex] av tilfellene der folk ikke har fugleinfluensa. Vi antar at [tex]4\percen[/tex]t av befolkningen under et utbrudd kan ha fugleinfluensa, og vi har dermed disse hendelsene:

F: "Personen har fugleinfluensa"
T: "Personen tester positivt for fugleinfluensa

Vi har dermed [tex]P(F)\,=\,0,04\;,\;P(T|F)\,=\,90[/tex] og [tex]P(T|\overline{F})[/tex]

a) Finn [tex]P(F \, \cap \, T)\;,\;P(T)[/tex] og [tex]P(\overline{F} \, \cup \, T) [/tex]
b) En person tester positivt for fugleinfluensa. Hva er sannsynligheten for at personen faktisk har fugleinfluensa?

Dersom en person har fugleinfluensa, så vil personen bli bedre av seg i [tex]80\percent[/tex] av tilfellene.

Vi ser på en klasse med [tex]23[/tex] elever og antar at alle sammen har fått fugleinfluensa.

c) Hvor stor sannsynlighet er det for at minst [tex]5[/tex] elever kommer til å trenger legebehandling i denne klassen?
d) Hva er det mest sannsynlige antallet elever som trenger legehjelp i denne klassen ?

[Nebuchadnezzar]

[tex]\mathcal{FASIT}[/tex]

Oppgave 1

a) Deriver funksjonene

[tex]\qquad[/tex]1) [tex]\,f(x)\,=\,x\cdot \ln(4x)[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] [tex]f^{\tiny\prime}(x)\,=\,1\cdot \ln(4x)+x\cdot\frac{1}{4x}\cdot4[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] [tex]f^{\tiny\prime}(x)\,=\ln(4x)+1[/tex]

[tex]\qquad[/tex]2) [tex]g(x)\,=\,6(5-x)^3[/tex]
[tex]\qquad \qquad [/tex] [tex]g^{\tiny\prime}(x)\,=(6)(3)(5-x)^2(-1)[/tex]
[tex]\qquad \qquad [/tex] [tex]g^{\tiny\prime}(x)\,=-18(5-x)^2[/tex]


b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer

[tex]\lim_{x\to7}\,\frac{x^2-49}{2x-14} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{2x}{x}\; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7} x \; \Leftrightarrow \, 7[/tex]

Bruker L`hôpital pga grenseverdien er på [tex]\frac{0}{0}[/tex] form

[tex]\lim_{x\to7}\,\frac{x^2-49}{2x-14}\; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{x^2-7^2}{2x-2\cdot7} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{(x-7)(x+7)}{2(x-7)} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{x+7}{2}\; \Leftrightarrow \, \frac{7+7}{2}\; \Leftrightarrow \,7[/tex]

c) Skriv så enkelt som mulig:

[tex] \qquad \ln\left(\frac{9}{x^3}\right)+\ln\left(\frac{x}{3}\right)+\ln(x^2)\,= \, \ln \left( \frac{9}{x^3} \cdot \frac{x}{3} \cdot x^2\right)\, = \, \ln(3)[/tex]

d) La f være polynomfunksjonen gitt ved [tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]

1) Regn ut [tex]f(2)[/tex] og faktoriser [tex]f(x)[/tex] i linære faktorer

[tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]

[tex]f(2)\,=\,\left(2^3\right)-3\left(2^2\right)-10\left(2\right)+24[/tex]

[tex]f(2)\,=\,8-12-20+24[/tex]

[tex]f(2)\,=\,0[/tex]

[tex]x^3-3x^2-10x+24 \, : \, x-2 \; = \; x^2-x-12[/tex]
[tex]\underline{x^3-2x^2 \qquad \qquad \qquad \qquad} [/tex]
[tex]\,\,\,\;\, - \; x^2+2x[/tex]
[tex]\underline{\,\,\,\;\, - \; x^2 -12x \qquad \qquad \qquad \qquad}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, -12x+24[/tex]
[tex]\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, -12x+24 \qquad \qquad}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \theta[/tex]

[tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]

[tex]f(x)\,=\,(x-2)(x^2-x-12)[/tex]

[tex]f(x)\,=\,(x-2)(x-4)(x+3) \qquad \qquad[/tex] pga [tex](-4)(3)=-12\,[/tex] og [tex]\,(-4)+(3)=-1[/tex]


2) Løs ulikheten [tex]f(x)<0[/tex]

______-4______-3______-2______-1______0______1______2______3______4______5
x+3 -----------------0________________________________________________________
x-2 ----------------------------------------------------------------------------0____________________
x-4----------------------------------------------------------------------------------------------------0_____
f(x)-------------------0___________________________________0----------------------0______
[tex]f(x)<0[/tex] når [tex]x<-3[/tex] eller [tex]2<x<4[/tex]

e) figuren viser grafen til en funksjon [tex]f[/tex] med to asymptoter. Bruk figuren til å tegne fortegnslinje for [tex]f(x)[/tex], den førstederiverte og den andrederiverte. Bestem verdimengden til funksjonen

Ganske nytteløs uten graf, skal tegne graf snart...

Oppgave 2

Slå en sirkel på innføringsarket. anta at vi ikke kjenner beliggenheten av sentrum til sirkelen. Vis ved konstruksjon hvordan vi kan finne sentrum.
Merk av et punkt [tex]T[/tex] utenfor sirkelen. Konstruer tangentene fra [tex]T [/tex]til sirkelen.


http://www.2shared.com/file/2sCkEqMh/Sentrum.html

1. Plasser et vilkårlig punkt P utenfor sirkelen
2. sett passerspissen i punktet og slå en bue som skjærer sirkelen
3. Marker skjæringspunktene, og finn midtpunktet mellom dem
4. Trekk ei linje gjennom punkt P og midtpunktet (Dette er diameteren)
5. Sett av skjæringspunktet mellom sirkelen og linja
6. Konstruer midtnormalen mellom skjæringspunktene, dette er sentrum



1. Plasser tre vilkårlige punkt på sirkelen.
2. Tegn en trekant med hjørner i disse punktene
3. Finn midtnormalen til to av sidene i trekanten
4. Skjæringspunktet mellom disse linjene er sentrum

To alternative måter

http://www.youtube.com/watch?v=YOJbWo41gU0
http://www.youtube.com/watch?v=7kMFjXtAWAY



Vi antar at vi kjenner sentrum i sirkelen
1. Vi plasserer et vilkårlig punkt T utenfor sirkelen
2. Vi finner midtpunktet mellom sentrum av sirkelen og T
3. Vi konstruerer en sirkel med sentrum i midtpunktet or radius til T
4. Skjæringspunktet mellom disse to sirklene er Tangeringspunktet til T

Oppgave 3

a) forklar hvorfor vektorene [tex][a,b][/tex] og [tex][-b,a][/tex] står vinkelrett på hverandre

To vinkler er ortogonale, dersom kryssproduktet er null
[tex]\vec{a}\bot\vec{b}\,\Leftrightarrow\,\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/tex]
[tex]\vec{a}\cdot\vec{b}=0\,\Leftrightarrow\, [a,b][-b,a] = 0 \,\Leftrightarrow\, (a)(-b)+(a)(b)=0\,\Leftrightarrow\, -ab+ab=0\,\Leftrightarrow\, 0=0[/tex]


b) Trekanten [tex]PQR[/tex] har hjørnene [tex]P(1,2) \; , \; Q(9,3) \; , \; R(9,-4)[/tex]
Bestem vektorene [tex]\; \vec{PR} \; , \; \vec{QR}[/tex] og [tex]|\vec{PR}|[/tex]

[tex] \vec {PR} = \vec {OR} - \vec {OP} = [9, - 4] - [1,2] = [8, - 6] [/tex]

[tex] \vec {QR} = \vec {OR} - \vec {OQ} = [9, - 4] - [9,3] = [0, - 7] [/tex]

[tex] \left| {\vec {PR} } \right| = \sqrt {\,\vec {PR} ^2 \;} = \sqrt {\left( 8 \right)^2 + \left( { - 6} \right)^2 } = \sqrt {64 + 36} = \sqrt {100} = 10 [/tex]


c) Undersøk ved regning om [tex]\vec{PR}[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec{QR}[/tex]

[tex]\vec {QR} \bot \vec {PR} \Leftrightarrow \vec {QR} \cdot \vec {PR} = 0 \Leftrightarrow [8, - 6] \cdot [0, - 7] \Leftrightarrow (8)(0) + \left( { - 6} \right)\left( { - 7} \right) \Leftrightarrow 42 [/tex] Nei, [tex]\vec {QR}[/tex] står ikke vinkelrett på [tex]\vec {PR}[/tex]


d) Finn en parameterframstilling for linja [tex]l[/tex] gjennom [tex]P[/tex] og [tex]Q[/tex]

[tex] \vec{PQ} = \vec {OQ} - \vec {OP} = [9,3] - [1,2] =[8,1] [/tex]
[tex]l:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 8t \\ y = 2 + 1t \\ \end{array} \right.[/tex]


e) Finn et punkt [tex]N[/tex] på [tex]l[/tex] slik at [tex]PQ \, \bot \,RN[/tex]

[tex]\vec {ON} = \vec{OP} + \vec {PQ} \cdot t = \left[ {1,2} \right] + \left[ {8,1} \right]t = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] [/tex]

[tex] RN = \vec {ON} - \vec {OR} = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] - \left[ {9, - 4} \right] = \left[ {8t - 8,t + 6} \right] [/tex]

[tex] \vec{PQ} \bot \vec {RN} \Leftrightarrow \vec {PQ} \cdot \vec {RN} = 0 \Leftrightarrow \left[ {8,1} \right]\left[ {8t - 8,t + 6} \right] = 0 \Leftrightarrow 64t - 64 + t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{58}}{{65}}[/tex]

[tex] \vec {ON} = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] = \left[ {8\frac{{58}}{{65}} + 1,\frac{{58}}{{65}} + 2} \right] = \left[ {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right] \Rightarrow N\left( {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right) [/tex]


f) Finn likninga for linja [tex]m[/tex] gjennom [tex]R[/tex] og [tex]N[/tex]

[tex] N\left( {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right) [/tex]

[tex] RN = \left[ {8t - 8,t + 6} \right] = \left[ {8\left( {\frac{{58}}{{65}}} \right) - 8,\frac{{58}}{{65}} + 6} \right] = \left[ { - \frac{{56}}{{65}},{\rm{ }}\frac{{448}}{{65}}} \right] [/tex]

[tex]m:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - \frac{{56}}{{65}}t \\ y = - 4 + \frac{{448}}{{65}}t \\ \end{array} \right\}{\rm{ og }}x = 9 - \frac{{56}}{{65}}t \Rightarrow t = - \frac{{65}}{{56}}x + \frac{{585}}{{56}}[/tex]

[tex] y = - 4 + \frac{{448}}{{65}}t \Rightarrow y = - 4 + \left( {\frac{{448}}{{65}}} \right)\left( { - \frac{{65}}{{56}}x + \frac{{585}}{{56}}} \right) \Rightarrow y = - 4 - \frac{{448}}{{56}}x + 72 \Rightarrow y = - 8x + 68 [/tex]



Del 2 (Tre timer)


Oppgave 4

Funksjonen [tex]f(x)[/tex] er gitt ved [tex]f(x)=x^4+2x^3-5x^2[/tex]

a) Finn nullpunktene til funksjonen og skjæringspunktet med y aksen

[tex] f(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 [/tex]

[tex] f(x) = x^2 \left( {x^2 + 2x - 5} \right) [/tex]

[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 2 \right) \pm \sqrt {\left( 2 \right)^2 - 4\left( 1 \right)\left( { - 5} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {24} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 2\sqrt 6 }}{2} = - 1 \pm \sqrt 6 [/tex]

[tex] Nullpunktene{\rm{ }}til{\rm{ }}f(x){\rm{ }}er{\rm{ }}x = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }} - 1 \pm \sqrt 6 [/tex]


b) Finn [tex]f^{\tiny\prime}(x)[/tex] , tegn et fortegnsskjema for den deriverte og finn topp. og bunnpunktene til funksjonen

[tex] f\left( x \right) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 [/tex]

[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x [/tex]

[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = \left( {2x} \right)\left( {2x^2 + 3x - 5} \right) [/tex]

[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 3 \right) \pm \sqrt {\left( 3 \right)^2 - \left( 4 \right)\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)} }}{{2\left( 2 \right)}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {49} }}{4} = \frac{{ - 3 \pm 7}}{4} = 1 \vee - \frac{5}{2} [/tex]

[tex]f\left( 1 \right) = \left( 1 \right)^4 + 2\left( 1 \right)^3 - 5\left( 1 \right)^2 = - 2 [/tex]

[tex] f\left( 0 \right) = \left( 0 \right)^4 + 2\left( 0 \right)^3 - 5\left( 0 \right)^2 = 0 [/tex]

[tex] f\left( { - \frac{5}{2}} \right) = \left( { - \frac{5}{2}} \right)^4 + 2\left( { - \frac{5}{2}} \right)^3 - 5\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2 = \left( { \frac{{625}}{{16}}} \right) + \left( { - \frac{{125}}{4}} \right) - \left( { \frac{{125}}{4}} \right) = - \frac{{375}}{{16}}[/tex]

_________-3______-5/2______-2______-1______0______1______2______

[tex]2x+5[/tex]-------------------0___________________________________________
[tex]x[/tex]---------------------------------------------------------------0____________________
[tex]x-1[/tex]-----------------------------------------------------------------------0_____________
[tex]f(x)[/tex]-----------------------0______________________0----------0_____________

[tex]f(x)[/tex] har bunnpunktene [tex]\left( -\frac{5}{2} \, , \, - \frac{{625}}{{16}} \right)[/tex] og [tex]\left( 1 \, , \, -2 \right)[/tex]
[tex]f(x)[/tex] har toppunktet [tex]\left( 0 \, , \, 0 \right)[/tex]


c) Finn [tex]f^{\tiny\prime\tiny\prime}(x)[/tex] og bestem hvordan grafen krummer.

[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x [/tex]

[tex] f^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( x \right) = 12x^2 + 12x - 10 = 2\left( {6x^2 + 6x - 5} \right)[/tex]

[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 6 \right) \pm \sqrt {\left( 6 \right)^2 - 4\left( 6 \right)\left( { - 15} \right)} }}{{2\left( 6 \right)}} = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {156} }}{{12}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {39} }}{6} [/tex]

[tex] f\left( x \right){\rm{ }}er{\rm{ }}konveks{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x < \frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}{\rm{ }}eller{\rm{ }}x > \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6} [/tex]

[tex] f\left( x \right){\rm{ }}er{\rm{ }}konkav{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6} < x < \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6} [/tex]


d) Bestem vendetetangentene til [tex]f[/tex].

[tex] f\left( x \right) = x^4 + 2x^3 - 5x^2{\rm{ og }}f\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) = - \frac{{11}}{{36}} - \frac{2}{9}\sqrt {39} {\rm{ og }}f\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) = - \frac{{11}}{{36}} + \frac{2}{9}\sqrt {39} {\rm{ }} [/tex]

[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x{\rm{ og }}f^{\tiny\prime}\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) = 10 - \frac{5}{9}\sqrt {39} {\rm{ og }}f^{\tiny\prime}\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) = 10 + \frac{5}{9}\sqrt {39} [/tex]

[tex] y = a\left( {x - x_1 } \right) + y_1 [/tex]

[tex] y_a = \left( {10 - \frac{5}{9}\sqrt {39} } \right)\left( {x - \frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) + \left( { - \frac{{11}}{{36}} - \frac{2}{9}\sqrt {39} } \right){\rm{ og }}y_b = \left( {10 + \frac{5}{9}\sqrt {39} } \right)\left( {x - \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) + \left( { - \frac{{11}}{{36}} + \frac{2}{9}\sqrt {39} } \right) [/tex]

[tex] y_a = 10\,x - \frac{{107}}{{12}} + \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} - \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x{\rm{ og }}y_b = 10\,x - \frac{{107}}{{12}} - \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} + \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]

[tex] {\rm{Vendetangenten i punktet }}\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}{\rm{ er y = }}10\,x - \frac{{107}}{{12}} + \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} - \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]

[tex] {\rm{Vendetangenten i punktet }}\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}{\rm{ er }}\,y=10\,x - \frac{{107}}{{12}} - \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} + \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]


f) Vi har likningen [tex]f(x)\,=\,k[/tex]. Bestem for hvilke [tex]k[/tex]-verdier som gir [tex]0\,,\,1\,,\,2\,,\,3[/tex] og [tex]4[/tex] løsninger.

[tex] Ingen{\rm{ }}l{\o}sning{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k < - \frac{{625}}{{16}} [/tex]

[tex] En{\rm{ }}l{\o}sning{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k = \frac{{625}}{{16}} [/tex]

[tex] To{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }} - \frac{{625}}{{16}} > k > - 2{\rm{ }} \vee {\rm{ }}k > 0 [/tex]

[tex] Tre{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }}k = - 2 [/tex]

[tex] Fire{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}0 > k > - 2[/tex]

Oransje linjer, er for å illustrere antall løsninger for forskjellige verdier av k

Blå linjer, er vendetangenter, svarte er nullpunkter og grønne er ekstremalpunkter.




Oppgave 5

En partikkel følger banen til vektorfunksjonen gitt ved [tex]\vec{\,r(t)\,}\,=\,[4t^2-5t\,,\,2e^t][/tex]
der [tex]t[/tex] er tiden målt i sekunder

a) Bestem hvor partikkelen er etter [tex]2[/tex] sekunder.

[tex]\vec{r\left( t \right)} = \left[ {4t^2 - 5t,2e^t } \right][/tex]

[tex] \vec {r\left( 2 \right)} = \left[ {4 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2,2e^2 } \right] = \left[ {6,2e^2 } \right] \approx \left[ {6,{\rm{14}}{\rm{.778}}} \right] [/tex]


b) Bestem farten etter [tex]2[/tex] sekunder.

[tex]b)v\left( t \right) = \left| {r^{\tiny\prime}\left( t \right)} \right| = \sqrt {\left( {8t - 5} \right)^2 + \left( {2e^t } \right)^2 } = \sqrt {64t^2 - 80t + 25 + 4e^{2t} } [/tex]

[tex] v\left( 2 \right) = \sqrt {64 \cdot 2^2 - 80 \cdot 2 + 25 + 4e^{2t} } = \sqrt {121 + 4e^4 } \approx {\rm{18}}{\rm{.42261111}}m/s [/tex]


c) Finn akselerasjonsvektoren og bestem akselerasjonen etter 3 sekunder.

[tex] Akselerasjonsvektor =\vec{r^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( t \right)} = \left[ {8,2e^t } \right] [/tex]

[tex] a\left( t \right) = \left| {\vec {r^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( t \right)} } \right| = \sqrt {8^2 + \left( {2e^t } \right)^2 } = \sqrt {64 + 4e^{2t} } = 2\sqrt {16 + \left( {e^t } \right)^2 } [/tex]

[tex] a\left( 3 \right) = 2\sqrt {16 + \left( {e^3 } \right)^2 } = 2\sqrt {16 + e^6 } \approx 40.95992156 \text{m/s}^2 [/tex]


d Avgjør om fartvektoren er parallell med aksene for noen verdier av t.

[tex]r\left( t \right)||\left( {x,0} \right) \Leftrightarrow \left[ {8t - 5,2e^t } \right] = \left( {x,0} \right){\rm{ }}siden{\rm{ }}2e^t \ne 0{\rm{ }}er{\rm{ }}v\left( t \right)aldri{\rm{ }}paralell{\rm{ }}med{\rm{ }}x{\rm{ }}aksen [/tex]

[tex] r\left( t \right)||\left( {0,y} \right) \Leftrightarrow \left[ {8t - 5,2e^t } \right]x = \left( {0,y} \right){\rm{ }}siden{\rm{ }}8t - 5 = 0{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = \frac{5}{8}{\rm{ }}s{\aa}{\rm{ }}er{\rm{ }}v\left( t \right){\rm{ }}paralell{\rm{ }}med{\rm{ }}y{\rm{ }}aksen{\rm{ }}da [/tex]


e) Bestem hvor kurven skjærer aksene.

[tex] \vec {r\left( t \right)} = 0 \Leftrightarrow \left[ {4t^2 - 5t,2e^t } \right]{\rm{ = 0 }}{\rm{, }}4t^2 - 5t = 0 \Rightarrow t = 0 \vee t = \frac{5}{4}{\rm{ og 2e}}^0 = 2{\rm{ }}{\rm{, 2e}}^{5/4} [/tex]

[tex]\vec{r\left( t \right)} {\rm{ }}skj\ae rer{\rm{ }}y{\rm{ }}aksen{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = 0{\rm{ }}i{\rm{ }}punktet\left( {0,2} \right){\rm{ }}og{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = \frac{4}{5}{\rm{ }}i{\rm{ }}punktet{\rm{ }}\left( {0,2e^{4/5} } \right) \approx \left( {0,6.9806} \right) [/tex]

[tex]\vec{r\left( t \right)} {\rm{ }}skj\ae rer{\rm{ }}aldri{\rm{ }}x{\rm{ }}aksen{\rm{ }}siden{\rm{ }}2e^t {\rm{ }}aldri{\rm{ }}blir{\rm{ }}0{\rm{ }} [/tex]


f) Skisser kurven for [tex]t\in [0\,,\,2][/tex]



Oppgave 6

Et legefirma prøver ut en ny blodprøvetype for fugleinfluensa. Prøven vil oppdage fugleinfluense i [tex]90\percent[/tex] avv tilfellene, men i tillegg så vil den gi en såkalt falsk positiv prøve i [tex]5\percent[/tex] av tilfellene der folk ikke har fugleinfluensa. Vi antar at [tex]4\percent[/tex] av befolkningen under et utbrudd kan ha fugleinfluensa, og vi har dermed disse hendelsene:

F: "Personen har fugleinfluensa"
T: "Personen tester positivt for fugleinfluensa

Vi har dermed [tex]P(F)\,=\,0,04\;,\;P(T|F)\,=\,90[/tex] og [tex]P(T|\overline{F})[/tex]


a) Finn [tex]P(F \, \cap \, T)\;,\;P(T)[/tex] og [tex]P(\overline{F} \, \cup \, T) [/tex]

[tex] P\left( {F \cap T} \right) = P\left( F \right)P\left( {T|F} \right) = 0.04 \cdot 0.90 = 0.036 [/tex]

[tex] P\left( T \right) = P\left( F \right)P\left( {T|F} \right) + P\left( {\overline F } \right)P\left( {T|\overline F } \right) = 0.04 \cdot 0.90 + 0.96 \cdot 0.05 = 0.036 + 0.048 = 0.084 [/tex]

[tex] P\left( {\overline F \cup T} \right) = P\left( {\overline F } \right) + P\left( T \right) - \left( {\overline F \cap T} \right) = 0.96 + 0.084 - 0.048 = 0.996 [/tex]




b) En person tester positivt for fugleinfluensa. Hva er sannsynligheten for at personen faktisk har fugleinfluensa?

[tex]P\left( {F|T} \right) = \frac{{P\left( F \right)P\left( {T|F} \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0.036}}{{0.084}} = \frac{{36}}{{84}} = \frac{3}{7} \approx {\rm{0}}{\rm{,42857 = 42}}{\rm{.857\percent }} [/tex]

Dersom en person har fugleinfluensa, så vil personen bli bedre av seg i [tex]80\percent[/tex] av tilfellene.

Vi ser på en klasse med [tex]23[/tex] elever og antar at alle sammen har fått fugleinfluensa.


c) Hvor stor sannsynlighet er det for at minst [tex]5[/tex] elever kommer til å trenger legebehandling i denne klassen?

[tex] \sum\limits_{n = 5}^{23} { {23}\choose{n}} \left( {0.20} \right)^n \left( {1 - 0.80} \right)^{23 - n} [/tex] [tex]\Leftrightarrow \sum\limits_{n = 5}^{23} { {{ {23}\choose{n}}} \left( {\frac{1}{5}} \right)^n \left( {\frac{4}{5}} \right)^{23 - n}[/tex] [tex]=[/tex] [tex] \frac{{{\rm{1190391041157833}}}}{{{\rm{2384185791015625}}}} \approx {\rm{0}}{\rm{.49929}} \approx {\rm{50\percent }}[/tex]


d) Hva er det mest sannsynlige antallet elever som trenger legehjelp i denne klassen ?

[tex] {\rm{P}}\left( x \right) = {{23}\choose {n}}\left( {\frac{1}{5}} \right)^n \left( {\frac{4}{5}} \right)^{23 - n} \;{\rm{\,\,\,\,og P}}\left( 0 \right) = {\rm{0}}{\rm{.0059}} \, , \, {\rm{P}}\left( 1 \right) = {\rm{0}}{\rm{.033}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 2 \right) = {\rm{0}}{\rm{.093}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 3 \right) = {\rm{0}}{\rm{.163}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 4 \right) = {\rm{0}}{\rm{.204}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 5 \right) = {\rm{0}}{\rm{.193}}[/tex]



[tex] Alts{\aa}{\rm{ }}er{\rm{ }}P\left( x \right){\rm{ }}st{\o}rst{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = 4{\rm{ }}eller{\rm{ }}n{\o}yaktig{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = 4.293525459{\rm{ }}P\left( {4.293525459} \right) = 0.2065178183 [/tex]

[tex] Men{\text{ vi kan ikke ha halve elever}},{\text{kanskje \det \, er halvbr{\o}dre}}... [/tex]

[Realist1]

Ser du glemte å texe en del uttrykk i del 2.

[TheOneAndOnly]

Hvilken mattebok har du?

[Nebuchadnezzar]

Realist1: fælt så sjapp du var i dag da^^ Holdt på å redigere innlegget mitt

TheOneAndOnly: Zigma R1, for en skitbok...

[Sievert]

Realist1: fælt så sjapp du var i dag da^^ Holdt på å redigere innlegget mitt

TheOneAndOnly: Zigma R1, for en skitbok...

Enig i at Sigma ikke er en bra bok, men må si den har morsomme C-oppgaver

[Nebuchadnezzar]

Da er tidenes lengste løsningsforslag klart ^^

Prøven gikk ikke så bra, fant ut etter prøven at jeg hadde 3 feil.

Seriøst, hvordan skal lærere forvente at vi skal klare 3f) på del 1 uten noen hjelpemidler og med begrenset tid ? ...

Om noen ser noen feil, i løsningsforslaget bare si ifra. Tror ikke det skal være noe, men er jo lett å overse ting.

[Gommle]

Tips:
http://sinuss1.cappelendamm.no/binfil/d ... ?did=35146

Program til å tegne fortegnslinjer.

[Nebuchadnezzar]

Gommle: Vet om det programet, men stilen ville ikke passet helt inn i løsningsforslaget ^^

La til en kort geogebra greie om hvan man finner sentrum i sirkelen. Skulle gjerne likt å ha den på en side, men så flink er jeg ikke.

Fikk igjen prøven: 5+ 0.5 poeng fra sekseren 66/71 poeng.
Litt slurv på del 2, og fikk ingen uttelling på konstruksjonen min som var litt surt.

Figuren var riktig konstruert, men siden jeg ikke forklarte så fikk jeg ingen poeng i det hele tatt... Stod ingenting i oppgaven om at det var nødvendig. Men slik er det, shit happens ^^

[sheputis]

tror svaret skal være ca 40.9 på 5 c) ikke 403 :=)

[mortensen0]

1 spørsmål,
på b oppgaven når man skal finne bunnpunktet, så er y-koordinatet til ene bp =625/16. altså f(-2,5)=625/16. Men i geogebra er nullpunktet til f(-2,5)=23,44. Kan lese det av figuren han har lagt ved..


Hva skjer?? skjønner ingenting nå!

[Nebuchadnezzar]

Fikset på ting nå, er meget stygg texing så orker ikke fikse så mye. Slike småting burde du klare å se selv =)
Å selvstendig kunne vurdere sine egne svar, er da også et av målene i læreplanen.