Årsprøve Matematikk R1

[kimjonas]

Uten sannsynlighet, grunnet at vi ikke rakk igjennom hele pensum før årsprøven.

Årsprøve Matematikk R1
Del 1: Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler.
Tid 2 timer.

Oppgave 1
Løs likningene ved regning.
a) [tex]3lgx^{5} - 35 = 10[/tex]
b) [tex]e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0[/tex]

Oppgave 2
Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x) = \frac{2x+1}{x-2}[/tex]
a) Finn eventuelle asymptoter for grafen til f.
b) Finn f'(x)
c) Løs ulikheten ved regning. [tex]f(x)<-3[/tex]

Oppgave 3
Polynomet P(x) er git ved
[tex]P(x) = 2x^{3}-x^{2}-2x+1[/tex]
a) Vis at =(x) er delelig med 2x-1 uten å utøre divisjonen.
b) Utfør divisjonen P(x) : (2x-1), og finn alle nullpunktene til P.
c) Finn likningen til tangenten til grafen til P i punktet (0,P(0)).

Oppgave 4
Vi har gitt funksjonen [tex]f(x)=4e^{-2x{2}}[/tex]
a) Finn f'(x)

Vi har tegnet grafen til f sammen med et innskrevet rektangel ABCD. Punktene A og B ligger på x-aksen, og punktene C og D ligger på grafen til f. Punktet B har koordinatene (x,0), der x>0.

Bilde/graf kommer kanskje?

b) Finn koordinatene til A, C og D uttrykt ved x.
c) Vis at arealet A(x) av rektangelet er [tex]A(x)=8xe^{-2x^{x}}[/tex]
d) Finn ved regning den verdien av x som gir størst areal. Finn den eksakte verdien av arealet for denne x-verdien.

Oppgave 5
I trekant ABC setter vi [tex]\vec{AB} = \vec{a}[/tex] og [tex]\vec{AC} = \vec{b}[/tex]. La D være et punkt slik at [tex]\vec{AD} = \frac{3}{4}\vec{a}[/tex]. Videre er E et punkt slik at [tex]\vec{BE} = -\frac{1}{3}\vec{b}[/tex].
a) Tegn en trekant ABC og plasser punktene D og E.
b) Finn [tex]\vec{CD}[/tex] uttrykt ved [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex].
c) Undersøk om punktene C, D og E ligger på samme linje.

Del 2
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Tid: 3 timer

Oppgave 6
Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x) = 5x(ln x)^{2}[/tex], x>0
a) Finn ved regning nullpunktet til f.
b) Vis at f'(x)[tex] = 5ln x(ln x+2)[/tex]
c) Finn ved regning toppunktet og bunnpunktet til .
d) Finn f''(x).
e) Finn ved regning koordinatene til vendepunktet.
f) Tegn grafen til f når x E <0,2>

Oppgave 7
En vektorfunksjon er gitt ved [tex]\vec{r}(t) = [t^{2}-1,t^{2}-2t-3][/tex]
a) Finn ved regning skjæringspunktene mellom grafen til [tex]\vec{r}[/tex] og koordinataksene.
b) Vis ved regning a punktet (3,-3) ligger på grafen til [tex]\vec{r}[/tex].
c) Finn en paramterfremstilling for tangenten i punktet (3,-3).
d) Undersøk om det finnes en verdi av t slik at [tex]\vec{r}[/tex]'[tex](t)[/tex] står normalt på [tex]\vec{r}[/tex]''[tex](t)[/tex].
e) Tegn en skisse av grafen til vektorfunksjonen for t E [-3,4]

Oppgave 8
På deler av denne oppgaven kan det være en fordel å bruke digitalt verktøy med dynamisk programvare.

Vi har gitt en sirkel med sentrum i origo og radius 5 cm. Fra punktet B (13,0) går det to tangenter til sirkelen. Tangeringspunktene er C og D.

a) Regn ut lengden av BC.

Mellom C og D (sirkelbuen mot B) er det et punkt E på sirkelen. Tangenten til sirkelen i E skjærer de to andre tangentene i F og G.

b) Regn ut lengden av EF når punktet E ligger på x-aksen.
c) Regn ut omkretsen av trekanten GBF når E ligger på x-aksen.

Oppgave 9
Gitt en sirkel som går igjennom punktene A(0,0), B(12,0) og C(10,10). Inne i sirkelen er det innskrevet en trekant ABC.

a) Finn [tex]\vec{AC}[/tex] og [tex]\vec{BC}[/tex].
b) La M være midtpunktet på BC.
Finn ved regning koordinatene til M.
c) Hvis vi flytter punktet C langs buen CD til punktet D, vil vinkel C være uendret. Forklar dette.
d)
1) Finn vinkel C ved regning.
2) Finn vinkel ASB.
e) La l være midtnormalen til linjestykket BC.
1) Vis ved regning at [5,1] er en retningsvektor for l.
2) Finn en parameterfremstilling for l.
f) Finn koordinatene til S.
g) Finn ved regning radien i sirkelen.

Lykke til!

[bartimeus25]

Takker for prøven

[kimjonas]

Skulle gjerne ha scannet inn hele prøven sammen med besvarelse, men scanneren er ikke helt frisk for tiden.

[Nebuchadnezzar]

Kjempebra! Skal kanskje regne denne i morgen. synd at jeg ikke fikk gått gjennom den i kveld. Men nå er det lalling!

[matte92]

Hvilken lærebok har du?

[kimjonas]

Bruker Sinus R1, Cappelendamm

[Arzhavin]

Har du kanskje løsningsforslag? hadde vært kjekt!

[nikoolinee]

Noen som har løsningsforslag til disse oppgavene?

[Drezky]

Jeg må beklage på forhånd hvis det er enerverende at jeg blar opp en gammel tråd. Men grunnet forespørsler om terminprøver på forumet og i og med at jeg selv skal ha en om en snau uke, så prøver jeg meg på et løsningsforslag på denne prøven. Vennligst korriger meg om jeg har noen feil


[tex]\Huge\textsc{Løsningsforslag}[/tex]




(1)
a) [tex]3lgx^{5} - 35 = 10\Leftrightarrow 3lgx^5=45\Leftrightarrow lgx^5=15\Leftrightarrow 10^{lgx^5}=10^{15}\Leftrightarrow x=\sqrt[5]{10^{15}}=10^{\frac{15}{5}}=10^3=1000[/tex]

b) [tex][tex][/tex][tex]e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0\Leftrightarrow (e^x)^2-3e^x+2=0,\:\:\:\:\:u=e^x[/tex]
/tex]
[tex]u^2-3u+2=0\Leftrightarrow (u-1)(u-2)[/tex]
[tex]u-1=0\Leftrightarrow u=1\Leftrightarrow e^x=1\Leftrightarrow xln(e)=ln(1)\Leftrightarrow x=0[/tex]
[tex]u-2=0\Leftrightarrow u=2\Leftrightarrow e^x=2\Leftrightarrow xln(e)=ln(2)\Leftrightarrow x=ln(2)[/tex]
[tex]e^{2x}-3e^{x}+2=0\Leftrightarrow \left \{x_1=0,x_2=ln(2)\ \right \}[/tex]

2

a)
Vertikal asymptote:
For bruddpunktet [tex]x=2[/tex] av [tex]f(x)=\frac{2x+1}{x-2}[/tex] blir telleren [tex]2*2+1=5[/tex]. Med andre ord vi har en vertikal asymptote for [tex]x=2[/tex]

Horisontal asymptote:

Horisontal asymptote:
[tex]\lim_{x\to\infty\pm } f(x)=\lim_{x\to\infty\pm }\frac{2x+1}{x-2}=\lim_{x\to\infty\pm }\frac{\left (2x+1 \right )*\frac{1}{x}}{\left (x-2 \right )*\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty\pm }\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}=\frac{2+0}{1-0}=2[/tex]

Med andre ord så har vi en horisontal asymptote for [tex]y=2[/tex]



b) [tex]f'(x)=\frac{2*(x-2)-\left (2x+1 \right )*1}{\left ( x-2 \right )^2}=-\frac{5}{(x-2)^2}[/tex]




c) Løs ulikheten ved regning. [tex]f(x)<-3[/tex]
[tex]f(x)<-3\Leftrightarrow \frac{2x+1}{x-2}<-3\Leftrightarrow \frac{2x+1}{x-2}+\frac{3(x-2)}{(x-2)}<0\Leftrightarrow \frac{2x+1+3x-6}{x-2}<0\Leftrightarrow \frac{5x+5}{x-2}<0\Leftrightarrow \frac{5(x+1)}{x-2}<0[/tex]

Setter inn i fortegnsskjema og får [tex]x\in\:\:(1<x<2)\:\:\:\vee\:\:< 1,2>[/tex]




3
a) Vi har [tex]P(x)=2x^3-x^2-2x+1[/tex]
Skal vise at [tex]2x-1[/tex] er delelig med polynomet slik at [tex]P(x):(x-x_0)=Q(x)+\frac{r}{x-x_0}[/tex]
[tex]2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}=0.5[/tex]
Skjekker for [tex]x=0.5[/tex]:
[tex]P(0.5)=2*(0.5)^3-(0.5)^2-2*(0.5)+1=0\Leftrightarrow \:\:P(x)\mid (2x-1)[/tex]



b) [tex](2x^3-x^2-2x+1):(2x-1)=x^2-1\linebreak -(2x^3-x^2)\newline -2x+1\newline -(-2x+1)\newline 0[/tex]
Slik at polynomet x i førstegradsfaktorer blir [tex]P(x)=(x-1)(x+1)(2x-1)[/tex]

c)
Likningen til tagenten i punktet (0, P(0)):
Likningen til en linær linje er gitt ved:
[tex]y-y_1=m(x-x_1)[/tex]
[tex]P(0)=1[/tex]
[tex]p'(x)=6x^2-2x-2[/tex]
[tex]p'(0)=6*0^2-2*0-2=-2[/tex]
[tex]y-y_1=m(x-x_1)[/tex]
[tex]y-1=-2(x-0\Leftrightarrow y=-2x+1[/tex]


4
a)
[tex][tex][/tex]f(x)=[tex]4e^{-2x^{2}}=\left (4e^{u} \right )'=4*u'*e^{u}'=4*-4x*-e^{-2x^2}=16xe^{-2x^2}[/tex]
[/tex],\:\:\:u=-2x^2[/tex]





5 a) Bildet under viser en trekant som tilfredsstiller kravene i oppgaven,



b) [tex]\vec{CD}[/tex] kan utrykket på to måter: Velger bare den ene da:
[tex]\vec{CD}=-\vec{CA}+\vec{AD}=-\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{a}=\frac{3}{4}\vec{a}-\vec{b}[/tex]
c) For å finne ut om C, D, E ligger på samme linje må vi undersøke om 2 av disse vektorene er parallelle.
F.eks. så kan vi skjekke om [tex]\vec{CD}\parallel\vec{DE}\Leftrightarrow \vec{CD}=t*\vec{DE}[/tex]
[tex][tex][/tex]\vec{DE}=\vec{DA}+\vec{AE}=[tex]\frac{3}{4}\vec{a}-\vec{b}=t*\left (-\frac{3}{4}\vec{a}+-\frac{1}{3}\vec{b} \right )\Leftrightarrow \frac{3}{4}\vec{a}-\vec{b}=-\frac{3}{4}\vec{a}t-\frac{1}{3}\vec{b}t\Leftrightarrow \frac{3}{4}\vec{a}=-\frac{3}{4}\vec{a}t\:\:\wedge -\vec{b}=-\frac{1}{3}\vec{b}t\Leftrightarrow t=-1\:\:\wedge t=3[/tex]
[/tex]

Ettersom vi får ulik verdi av t så ligger ikke punktene på samme linje.


6


[tex]f(x)=5x(lnx)^2,\:\:x>0[/tex]


a)
[tex]f(x)=0\Leftrightarrow 5x(lnx)^2=0\Leftrightarrow 5x=0\:\:\:\vee (lnx)^2=0\Leftrightarrow x=0\:\:\vee x=e^0=1[/tex]

[tex]f(x)=5x(lnx)^2,u=lnx[/tex]
[tex]f(x)=5x(u)^2\rightarrow f'(x)=5*(xln(x)^2)'=5(1ln(x)^2+2ln(x)*\frac{1}{x}xln(x))=5(ln(x)^2+2*\frac{1}{x}xln(x))=5(ln(x)^2+2ln(x))=5lnx(lnx+2)[/tex]

c) og d)
[tex]f'(x)=0\Leftrightarrow 5lnx(lnx+2)=0\Leftrightarrow 5lnx=0\:\:lnx+2=0\Leftrightarrow x=1\:\:\:\vee x=\frac{1}{e^2}[/tex]
[tex]f''(x)=5*\frac{1}{x}*(lnx+2)+5lnx*\frac{1}{x}=\frac{5(lnx+2)}{x}+\frac{5lnx}{x}=\frac{5(lnx+2)+5lnx}{x}=\frac{5\left ((lnx+2)+lnx \right )}{x}=\frac{10ln(x)+10}{x}[/tex]


e)

[tex]\frac{10ln(x)+10}{x}=0\Rightarrow \left \{ x=\frac{1}{e} \right \}=vendepunkt[/tex]


7

a)
[tex]\vec{r}: = \begin{cases} x=t^2-1, \\ y=t^2-2t-3 \end{cases}[/tex]

Skjæring med x-aksen:
[tex]y=0\Leftrightarrow t^2-2t-3=0\Leftrightarrow t=3\:\:\wedge t=-1[/tex]
[tex]x_1=t^2-1=(3)^2-1=8\:\:\:\:\:\:\:\:x_2=t^2-1=(-1)^2-1=0[/tex]
Skjæringspunktene blir da [tex]A\left ( 8,0 \right )\:\:\:B\left ( 0,0 \right )[/tex]

Skjæring med y-aksen:
[tex]x=0\Leftrightarrow t^2-1=0\Leftrightarrow t=\pm1[/tex]
[tex]y_1=t^2-2t-3=(1)^2-2(1)-3=-4\:\:\:\:\:\: y_2=t^2-2t-3=(-1)^2-2(-1)-3=0[/tex]
Skjæringspunktene blir da: [tex]C(0,-4)\:\:\wedge\:\:\: D(0,0)[/tex]

b)

Det at [tex](3,-3)[/tex] ligger på grafen kan bare være sant dersom det fins en verdi for t slik at :
[tex]t^2-1=3\:\:\:\wedge t^2-2t-3=-3\:\:\Leftrightarrow \left (t=\pm 2\:\:\wedge t=0\:\:\vee t=2 \right )\:\:\:\:\\\\\Rightarrow t=2[/tex]

Ergo, ettersom punktet svarer til den samme paramterverdien for t=2, så ligger punktet [tex]3, -3[/tex] på grafen

c)

Ettersom punktet svarer til parameterverdien for [tex]t=2[/tex] så vil en retningsvektor for tangenten være gitt ved:
[tex]\vec{r}'(2)=\left [ 2*2,2*2-2 \right ]=\left [ 4,2 \right ][/tex]

Denne tangenten går i gjennom punktet [tex](3,-3)[/tex] og er paralell med vektoren [tex]\left [ 4,2 \right ][/tex] slik at vi får parameterfremstillingen:
[tex]parameterfremstilling= \begin{cases} x=3+4t \\ y=-3+2t \end{cases}[/tex]

d)
[tex]\vec{r}(t)=\left [ t^2-1,t^2-2t-3 \right ]\rightarrow \vec{r}'(t)=\left [ 2t,2t-2 \right ]\rightarrow \vec{r}''(t)=\left [ 2,2 \right ][/tex]
[tex]\vec{r}'(t)\perp\vec{r}''(t)\Leftrightarrow \vec{r}'(t)*\vec{r}''(t)=0\Leftrightarrow 2t*2+2t-2*2=4t+-8t=0\Leftrightarrow -4t=0\:\Leftrightarrow t=0[/tex]
Nei?

e)
Bruker kommandoen Kurve[ <Uttrykk>, <Uttrykk>, <Parametervariabel>, <Start>, <Slutt> ] på geogebra og setter inn Kurve[t² - 1, t² - 2t - 3, t, -3, 4]. Da kommer grafen opp..



8


Setter inn informasjonen i Geogebra.
Her lukter det punktets potens ..




[tex]BD^2=BC^2\Rightarrow BD=BC[/tex]

Bruker kommandoen lengede og får at [tex]BC=12cm[/tex]

b)

Vi har en rettvinklet trekant, der vi kan bruke trignometri til å løse, eller bruke kommandoen lengde. Jeg velger det letteste da vi har fordelen med å bruke et dynamisk programvare. Jeg får [tex]EF=3.33cm[/tex]

c)
Igjen så har vi en fordel med å bruke geogebra. Kan egentlig bare bruke kommandoen lengde og summere opp [tex]\left | GB \right |,\left | BF \right |\:og\left | FG \right |=\left (8.67*2 \right )cm+6.67=115.6578cm[/tex]

Dette er en likebent trekant (se deloppgave a)




9

a)
[tex]\vec{AC}=\left [ 0-10,0-10 \right ]=\left [ -10,-10 \right ][/tex]
[tex]\vec{BC}=\left [ 12-10,0-10 \right ]=\left [ 2,-10 \right ][/tex]

b) Hvis M er midtpunktet på BC vil det føre til at [tex]M=\frac{1}{2}\vec{BC}=\frac{1}{2}\left [ 2,-10 \right ]=\left [ 1,-5 \right ][/tex]

[tex]\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BC}=\left [ 0,0 \right ]+\left [ -12,0 \right ]+\left [ 1,-5 \right ]=\left [ 0-12+1,0+0-5 \right ]=\left [ 11,5 \right ][/tex]

M har koordinatene [tex]\left ( 11,5 \right )[/tex]

c)
Vinkel C vil være uendret ettersom perferivinkelen spenner over samme bue i intervallet (buen CD)

d)
(1)
[tex]arccos\left ( \frac{\vec{CA}*\vec{CB}}{\left | \vec{CA }\right |*\left | \vec{CB} \right |} \right )=arccos\left ( \frac{\left [ 10,10 \right ]*\left [ -2,10 \right ]}{10\sqrt{2}*2\sqrt{26}} \right )=arccos\left ( \frac{10*-2+10*10}{40\sqrt{13}} \right )\approx56.3^o[/tex]

(2)

Står ikke noe om S i oppgaven?

.....

[indianajones]

Dette setter jeg pris på ! Takk, skal regne gjennom denne prøven til eksamen

[Gjest]

oppgave 9 ?

[Gjest]

oppgave 9 ?

?

[Dolandyret]

Til Drezky: Her er nok S ment som punktet som markerer sentrum i sirkelen.

[Gjest]

Noen som bet?

[Dolandyret]

Noen som bet?

Hva da?