Fubinis teorem sier at hvis visse betingelser er oppfylt er det ingenting i veien for å bytte om på integrasjonsrekkefølgen i et dobbeltintegral. Dette kan brukes til å løse bestemte integraler som ikke lar seg løse rett fram ellers; for eksempel kan vi utlede tetthetsintegralet
[tex]\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt\pi[/tex]
Noen ganger kan det i lys av Fubinis teorem lønne seg å skrive en funksjon som et integral i stedet. For eksempel veit vi at
[tex]\frac1x = \int_0^\infty e^{-xt} dt[/tex]
Hvis vi nå antar betingelsene for teoremet er oppfylt, beregn integralet
[tex]\int_0^\infty \frac{\sin x}x dx[/tex]
Fubinis teorem
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ah! Integralet over er et jeg har strevd med før. Nå kom svaret pent og pyntelig poppende ut! Nydelig! I tillegg ser jeg nå enda et mulig bruksområde for tabeller over Laplacetransformeringer 
Noen andre kan få lov til å besvare denne oppgaven, men jeg slenger gjerne på med en ekstraoppgave:
a) Finn [tex]\int _0 ^\infty \frac{\cos(x)}{x^2+1} \rm{d} x[/tex]
b) Finn [tex]\int _0 ^\infty \frac{\cos(x)}{x^2+n^2} \rm{d} x[/tex]
I en tabell over Laplacetransformeringer, vil man finne at:
[tex]\int _0 ^\infty \sin(nt)e^{-xt} \rm{d}t = \frac{n}{x^2+ n^2}[/tex]
Noen andre kan få lov til å besvare denne oppgaven, men jeg slenger gjerne på med en ekstraoppgave:
a) Finn [tex]\int _0 ^\infty \frac{\cos(x)}{x^2+1} \rm{d} x[/tex]
b) Finn [tex]\int _0 ^\infty \frac{\cos(x)}{x^2+n^2} \rm{d} x[/tex]
I en tabell over Laplacetransformeringer, vil man finne at:
[tex]\int _0 ^\infty \sin(nt)e^{-xt} \rm{d}t = \frac{n}{x^2+ n^2}[/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Da bør du skaffe deg ei innføringsbok i kompleks analyse! Slike integraler regnes ganske greit ut med residueteoremet, ekstraoppgavene knekkes også relativt lett med dette. Ganske gøye greier i grunnen.daofeishi skrev:Ah! Integralet over er et jeg har strevd med før.
