På randen av Mandelbrotmengden

[Hege Baggethun2020]

a) Forklar/vis at dersom $R$ er en periodisk region i Mandelbrotmengden $M$, så vil $\partial R\subseteq M$.
(Vedrørende notasjon: $\partial R$ er randen til $R$.)

b) Deduser fra svaret i a) at punktet $c\in M$, når $c=-1+\frac{1}{4}i$.

[Gustav]

Litt usikker på definisjonen av periodisk region i Mandelbrot-mengden(?), så godt mulig jeg har misforstått noe her..

a) Betrakter det komplekse planet som Mandelbrotmengden er en delmengde i, som et topologisk rom (homeomorft med $R^2$). La $U\subseteq M$ være en vilkårlig delmengde i $M$ og la $x\in \partial U$. Bevis ved motsigelse: Anta at $x\notin M$. Siden $M$ er lukket fins en åpen omegn $V$ om $x$ slik at $V\cap M=\mathrm{\varnothing }$, men dette medfører en motsigelse siden enhver åpen omegn om $x$ må inneholde et punkt i $U\subseteq M$.

[Hege Baggethun2020]

Ltt usikker på definisjonen av periodisk region i Mandelbrot-mengden(?), så godt mulig jeg har misforstått noe her..

a) Betrakter det komplekse planet som Mandelbrotmengden er en delmengde i, som et topologisk rom (homeomorft med $R^2$). La $U\subseteq M$ være en vilkårlig delmengde i $M$ og la $x\in \partial U$. Bevis ved motsigelse: Anta at $x\notin M$. Siden $M$ er lukket fins en åpen omegn $V$ om $x$ slik at $V\cap M=\mathrm{\varnothing }$, men dette medfører en motsigelse siden enhver åpen omegn om $x$ må inneholde et punkt i $U\subseteq M$.

Et nydelig svar, helt riktig

Til info; En periodisk region er definert som en maksimal region $R$, slik at for et positivt heltall, $p$, så har funksjonen $P_c=z^2+c$ (for $c\in \mathbb{C}$) en tiltrekkende $p$-sykel for alle $c\in R$. Og dersom en funksjon $P_c$ har en tiltrekkende sykel, så er $c\in M$, og $c$ er indre punkt for alle $c$ hvor dette er oppfylt. Det medfører at man kan argumentere slik du gjorde.

Klarer du oppgave b) også?

Et hint: Funksjonen $P_c$ har en tiltrekkende 2-sykel hvis og bare hvis $c$ tilfredsstiller $|c+1|<\frac{1}{4}$.

[Gustav]

Takk for definisjonen! Såvidt jeg skjønner er det nok å vise at $R=\{c\in \mathbb{C}:|c+1|<\frac{1}{4}\}$ er en periodisk region i M, som betyr at vi f.eks. må vise at $P_c=z^2+c$ har en tiltrekkende 2-sykel for alle $c\in R$. Dermed vil $c_0=-1+\frac{1}{4}i\in M$ siden $c_0\in \partial R$, fra punkt a):

Ser først at ligningen $P_c^2(z)=z$ (Lign. 1)(der $P_c^2$ betyr funksjonen $P_c$ iterert to ganger) medfører at $P_c$ har 2-sykler(som ikke er fikspunkt) for alle $c\ne -\frac{3}{4}$. Det gjenstår å vise for hvilke $c$ disse er tiltrekkende. Fra https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_ ... multiplier fins betingelsen på et tiltrekkende periodisk punkt $z_0$:

$|\lambda |=|(P_c^2{)}^{\prime }(z_0)|=4|z_0||z_0^2+c|<1$, der $z_0=\frac{-1+\sqrt{-3-4c}}{2}$ (en løsning av Lign. 1), men dette er etter litt regning ekvivalent med at $|c+1|<\frac{1}{4}$. Dermed er $R$ en maksimal region slik at for alle $c\in R$ har $P_c$ en tiltrekkende 2-sykel, og vi er ferdige.

[Hege Baggethun2020]

Takk for definisjonen! Såvidt jeg skjønner er det nok å vise at $R=\{c\in \mathbb{C}:|c+1|<\frac{1}{4}\}$ er en periodisk region i M, som betyr at vi f.eks. må vise at $P_c=z^2+c$ har en tiltrekkende 2-sykel for alle $c\in R$. Dermed vil $c_0=-1+\frac{1}{4}i\in M$ siden $c_0\in \partial R$, fra punkt a):

Ser først at ligningen $P_c^2(z)=z$ (Lign. 1)(der $P_c^2$ betyr funksjonen $P_c$ iterert to ganger) medfører at $P_c$ har 2-sykler(som ikke er fikspunkt) for alle $c\ne -\frac{3}{4}$. Det gjenstår å vise for hvilke $c$ disse er tiltrekkende. Fra https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_ ... multiplier fins betingelsen på et tiltrekkende periodisk punkt $z_0$:

$|\lambda |=|(P_c^2{)}^{\prime }(z_0)|=4|z_0||z_0^2+c|<1$, der $z_0=\frac{-1+\sqrt{-3-4c}}{2}$ (en løsning av Lign. 1), men dette er etter litt regning ekvivalent med at $|c+1|<\frac{1}{4}$. Dermed er $R$ en maksimal region slik at for alle $c\in R$ har $P_c$ en tiltrekkende 2-sykel, og vi er ferdige.

Et korrekt og veldig fint svar, bra!

[Gustav]

Fin oppgave! Jeg slet litt med å finne definisjoner på begrepene, men kom samtidig over flere interessante artikler om temaet Har hatt et par kurs i ikke-lineær dynamikk, men merket jeg var litt rusten på området. Tror aldri Mandelbrotmengder var noe stort emne i noen av kursene jeg tok.

[Hege Baggethun2020]

Fin oppgave! Jeg slet litt med å finne definisjoner på begrepene, men kom samtidig over flere interessante artikler om temaet Har hatt et par kurs i ikke-lineær dynamikk, men merket jeg var litt rusten på området. Tror aldri Mandelbrotmengder var noe stort emne i noen av kursene jeg tok.

Veldig gøy at du likte oppgaven. Jeg tror absolutt at det finnes mye interessant litteratur om temaet, særlig dersom man har tilgang til artikler. Jeg har skaffet meg boken "Fractal Geometry" av Kenneth Falconer, siden jeg ble veldig fascinert av konseptene.

Jeg tok et fag i kompleks analyse i fjor (15 studiepoeng), hvor Mandelbrotmengden utgjorde en stor del av det pensumet som gjaldt anvendelser. Det ble veldig godt mottatt av studentene!