Hei, jeg leser https://math.la.asu.edu/~kawski/classes ... Cayley.pdf, og har litt problemer med å forstå beviset for det andre teoremet der (første side, ikke Cayleys teorem, men det neste). Det står at "The action of $G$ by left multiplication on $\mathcal{L}_H$ induces a map $\Phi:G\to S_{\mathcal{L}_H}\cong S_m$ via $\Phi(g)(aH)=(ga)H$."
Men hvordan funker egentlig $\Phi$? Siden kodomenet er en symmetrisk gruppe så regner jeg med at $\Phi(g),g\in G$ vil se ut som permutasjoner, altså noe sånt som $(1 3 4)(5 2)$. Når dette ganges med $(aH)$ så blir vel det som å permutere elementene i $aH$? Men hvordan kan en permutasjon av $aH$ sies å være lik $(ga)H$, når $aH$ og $H$ ikke nødvendigvis inneholder de samme elementene en gang?
Jeg er litt forvirret, så hadde satt utrolig stor pris på litt hjelp her.
Gruppeteori
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For ordens skyld:stensrud skrev:
Men hvordan funker egentlig $\Phi$? Siden kodomenet er en symmetrisk gruppe så regner jeg med at $\Phi(g),g\in G$ vil se ut som permutasjoner, altså noe sånt som $(1 3 4)(5 2)$. Når dette ganges med $(aH)$ så blir vel det som å permutere elementene i $aH$? Men hvordan kan en permutasjon av $aH$ sies å være lik $(ga)H$, når $aH$ og $H$ ikke nødvendigvis inneholder de samme elementene en gang?
Jeg er litt forvirret, så hadde satt utrolig stor pris på litt hjelp her.
Det er ikke snakk om en permutasjon av elementene innad i aH, men en permutasjon av kosettene i seg selv. Du har en gruppe G, som du deler inn i $m$ antall delmengder, kalt kosett, der hvert kosett inneholder |G|/m antall elementer. $\Phi(g)$ er en permutasjon av disse kosettene der kosett aH går til kosett (ga)H etc. Strengt tatt må man da vise at multiplikasjon med g faktisk er en permutasjon av kosettene: hvis aH og bH er to ulike kosett så må f.eks. (ga)H og (gb)H være to ulike kosett.
Edit: Hvis $\{a_1H, a_2H,...\}$ er kosettene, så er for enhver g i G $\{(ga_1)H, (ga_2)H,...\}$ en permutasjon av kosettene.
Takker! Så hvis $\mathcal{L}_H=\{H_1,H_2,\dotsc,H_m\}$ er det basically det samme som at $\{ H_1,H_2,\dotsc,H_m \}\stackrel{\Phi(g)}{\mapsto}\{gH_1,gH_2,\dotsc,gH_m\}$? Eller i sykelnotasjon:
\[ \Phi(g) = \begin{pmatrix}
H_1&H_2&\dots&H_m\\
gH_1&gH_2&\dots&gH_m
\end{pmatrix} \]
\[ \Phi(g) = \begin{pmatrix}
H_1&H_2&\dots&H_m\\
gH_1&gH_2&\dots&gH_m
\end{pmatrix} \]
Ja, nettopp!stensrud skrev:Takker! Så hvis $\mathcal{L}_H=\{H_1,H_2,\dotsc,H_m\}$ er det basically det samme som at $\{ H_1,H_2,\dotsc,H_m \}\stackrel{\Phi(g)}{\mapsto}\{gH_1,gH_2,\dotsc,gH_m\}$? Eller i sykelnotasjon:
\[ \Phi(g) = \begin{pmatrix}
H_1&H_2&\dots&H_m\\
gH_1&gH_2&\dots&gH_m
\end{pmatrix} \]