Integral R2

[hallapaadeg]

skjønner ikkje helt hvor jeg failer her:

Skal finne det ubestemte integralet av [tex]\int \frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}dx[/tex]

Jeg prøver å løse dette ved variabelskifte:

[tex]u = e^{x} + 1[/tex] => [tex]\frac{du}{dx} = e^x[/tex] => [tex]dx = \frac{du}{e^{x}}[/tex]

[tex]\int \frac{e^{x}}{u^{2}}\frac{du}{e^{x}} = \int \frac{1}{u^{2}}du[/tex] som blir

[tex]\frac{1}{-2+1}u^{-2 + 1} + C = \frac{1}{-1}u^{-1} + C = - \frac{1}{e^{x}+1} + C[/tex] men det blir jo feil i forhold til fasiten som sier at svaret er [tex]\frac{e^{x}}{e^{x}+1}[/tex]

Anyone? sikkert ganske grei forklaring på det

[Nebuchadnezzar]

Det er begge som har rett.

$
\frac{e^x }{1+e^x} + C = \frac{(1+e^x)-1}{1+e^x} + C = 1 - \frac{1}{1+e^x} + C = - \frac{1}{1+e^x} + C
$

[hallapaadeg]

Hmm I see. Men hvorfor klarer ikke GeoGebra å tegne grafen likt for begge ?

[Realist1]

Hvis du følger omregningen til Nebu så ser du at C i den ene løsningen ikke er den samme som C i den andre løsningen.

[hallapaadeg]

Aha! Slik har jeg ikke tenkt på det før ) Takk!

[Nebuchadnezzar]

Og merk at konstanten C forsvinner når en deriverer svarene (da den deriverte av en konstant er null).
Med andre ord så vil alle anti-deriverte til en funksjon $F$, høyst avike med en konstant. Så dersom
$G'(x) = f(x)$ og $F'(x) = f(x)$ så vil $G'(x) - F'(x) = C$ hvor $C$ er en konstant. Dette ser du og greit ut i fra figuren din.