Abelkonkurransen

[Austad]

Synes oppgavene var omtrent som i fjor, kanskje oppg. 1 var litt vel lett. Og det var litt skuffende å se oppg. 6 som egentlig bare er oppg. 16 fra runde 1 2010 brukt om igjen.

Jeg endte på 135 poeng som jeg håper kan holde til en finale, men jeg tør ikke håpe for mye.

[pluto10_eng_8c3]

Enig med oppgave 6.
Ellers synes jeg noen av oppgavene var litt for lette. Oppgave 1 var standard, oppg. 2 var bare å prøve seg frem og oppg. 10 var enkel når man forstod prinsippet. Hvordan tenkte dere på oppg. 8???

[Fibonacci92]

Syns oppgavesettet var en god del lettere enn tidligere år, men det er kanskje fordi oppgave 6 og 8 var så godt som løst for meg allerede da jeg satt på den nødvendige kunnskapen fra før og ikke måtte regne meg frem til noe. Oppgave 1 og 2 var heller ikke spesielt vanskelige, og ikke oppgave 10 heller (Selv om jeg bommet på denne). Oppgave 3 tenkte jeg fullstendig feil på, oppgave 8 var en slurvefeil.

Den vanskeligste oppgaven vil jeg påstå var oppg.9, primært fordi jeg syns det var vanskelig å tegne figuren.

Bommet på oppgave 3,8 og 10 så jeg endte på 70 poeng.

Oppgave 8

Du ser et system.

2,6,10 ... osv kan ikke skrives som differansen mellom to kvadrattall.

Generelt kan ingen tall på formen 4k + 2 skrives som differansen mellom to kvadrattall.

Dette kan bevises ved bruk av f.eks. moduloregning.

[Fibonacci92]

Da er fasiten ute, men er det noen som har noen alternative fremgangsmåter som ikke står i fasiten?

[Karl_Erik]

Jeg fikk ti riktige i år, men det kunne fort blitt mindre - på oppgave sju trodde jeg det var [tex]1+x+x^2+x^3+x^+x^5[/tex] de spurte etter, så jeg hadde skrevet inn 10 som svar helt til jeg så over, og på oppgave åtte regnet jeg med 1000 til jeg så at det sto 'mindre enn 1000', så også her reddet jeg meg på en mer nøyaktig gjennomgang.

Av alternative løsninger fant jeg noen da jeg så over for å dobbeltsjekke svarene mine - er vel essentielt ekvivalent med fasitløsningene om en går dem nærmere etter i sømmene. På oppgave tre kan du si at du egentlig er interessert i antallet måter å dele ti elever opp i fem par bestående av en prosjektleder og en løpegutt. Da må du velge fem sjefer, og deretter ordne de resterende fem løpeguttene i en vilkårlig rekkefølge for å plassere dem i hvert sitt par, så dette kan gjøres på [tex] {10} \choose 5 \cdot 5![/tex] måter. Deretter bestemmer du deg for å likestille elevene, og deler derfor på [tex]2[/tex] en gang for hvert av de fem parene for å finne antallet fordelinger hvis (som i den faktiske oppgaven) hvem som er sjef er irrelevant, og får selvfølgelig samme svar som fasit.

På oppgave fem kan du først si at AB=AC siden tangenter til en sirkel fra et punkt har samme lengde, og av dette slutte at trekant ABC er likesidet. La så omsenteret i trekanten være D. Siden firkant ABOC har to rette vinkler overfor hverandre er den syklisk, så O ligger på omsirkelen til ABC, og DO=DA=DB=DC=R. Men vinkel DBC er lik 120 grader av sentralvinkelteoremet på omsirkelen til ABC, og bruker vi dette teoremet igjen på sirkelen med sentrum i O gir dette at D ligger på den. Av dette ser vi at D faktisk er skjæringspunktet i oppgaven, så det vi må finne er DB. Men trekantene DBO og DOC er også likesidede, så DB=DO. Men da har vi at [tex]2DB=DB+DO=DA+DO=AO=420[/tex], og [tex]DB=210[/tex]. (Denne har jeg nok forklart litt omstendelig, beklager.)

Ellers syntes jeg oppgave ni var litt vanskelig å tegne en god figur på, men da jeg prøvde å begynne med å tegne AED falt figuren mer på plass. Var også litt morsomt at oppgave ti essentielt var den euklidske algoritmen baklengs. Den første oppgaven syntes jeg var lett å gjøre 'for enkel' ved bare å regne ut løsningene og legge dem sammen - den er like løselig med fasitmetoden om det hadde vært et tredjegradspolynom det hadde vært snakk om, men da hadde det ikke vært like lett å bare regne ut og summere røttene for hånd.

Oppgave to har jeg ikke funnet noen god måte å løse på annet enn å bare prøve seg fram oppover - selv om man selvfølgelig kan utelukke primtallene, og med litt mer arbeid også primtallspotensene, gjør ikke det noen særlig forskjell fra eller til i og med at svaret er såpass lavt.

[Fibonacci92]

Oppgave 2 kan vel kanskje løses slik:

Vi ser på tallet k = pq der p og q er primtall

Vi vet at (p-1)(q-1) ≥ 2 der p ≥ q og p ≥ 3

altså er pq ≥ p + q + 1

Et tall må altså ha mer enn to faktorer for å være superdelelig, der minst to av dem må være forskjellige fordi a^n > a^(n-1) + a^(n-2) .... + a +1 for a > 1 tilsier at tallet ikke kan være superdelelig dersom det er en primtallspotens.

Det minste slike tallet er dermed det tallet som har minst tre primtallsfaktorer, der minst to er forskjellige. Dette tallet er 2*2*3. Det neste superdelelige tallet ifølge dette resonnementet er 2*3*3, og så 3*3*4.

Jeg har ikke bevist at tallet må være superdelelig, men jeg føler jeg har satt noen krav for at et tall skal være superdelelig. Noen tanker?

EDIT: Er det kanskje mulig å vise at p^2 + pq + p + q + 1 > ppq for visse verdier av p og q?

[Thales]

Oppgave 8

Du ser et system.

2,6,10 ... osv kan ikke skrives som differansen mellom to kvadrattall.

Generelt kan ingen tall på formen 4k + 2 skrives som differansen mellom to kvadrattall.

Dette kan bevises ved bruk av f.eks. moduloregning.

Jeg var faktisk så "Heldig" å huske 4k + 2 fra forifjorårets finale(http://abelkonkurransen.no/problems/abe ... rob_no.pdf), så da slapp jeg faktisk å bruke alt for mye tid på dette

Visste forresten ikke at det var summen av begge poengsummene som telte, så selv om jeg føler å få en go poengsum i denne runden, så tror jeg ikke det jeg fikk fra 1. holder til final

[Fibonacci92]

Hvor mye fikk du i 1. og 2. runde thales?

[Thales]

Hvor mye fikk du i 1. og 2. runde thales?

I første ble det bare 52, men i 2. runde nå som jeg har sett på faisten burde jeg ha 80 eller 90 hvis jeg ikke husker svarene mine feil Men er uansett fornøyd selv om jeg ikke kommer videre, får en siste sjanse neste år uansett.

EDIT: Må bare si at i 2. runde var jeg utrolig heldig, for på noen svar var jeg ganske så usikker, så jeg svarte det som jeg trodde at de tkunne være. For eksempel så tippet jeg meg fram til løsning 9 grafisk(hadde ikke tid på meg), og fant ut at svaret mitt stemte etterpå.

[Fibonacci92]

132 eller 142 da? Mener å huske at det var en med 132 som kom seg til finalen i fjor, så man skal aldri si aldri.

[Karl_Erik]

Jeg har ikke bevist at tallet må være superdelelig, men jeg føler jeg har satt noen krav for at et tall skal være superdelelig. Noen tanker?

Dette er jo finfint. Du viser jo faktisk at (uten å måtte sjekke noe som helst for hånd) tallene 1 til 11 ikke er superdelelige, og når du så sjekker at 12 faktisk er det er du jo i mål. Å vise noe særlig mer om superdelelige tall tror jeg kan bli vanskelig, men det er ikke så vanskelig å finne uendelig mange av dem.

EDIT: Må bare si at i 2. runde var jeg utrolig heldig, for på noen svar var jeg ganske så usikker, så jeg svarte det som jeg trodde at de tkunne være. For eksempel så tippet jeg meg fram til løsning 9 grafisk(hadde ikke tid på meg), og fant ut at svaret mitt stemte etterpå.

Dette er helt greit i andre runde det, så er ingenting å ha dårlig samvittighet for - godt gjort. Jeg tror heller ikke det er umulig å komme seg til finalen med 132 poeng - som Fibonacci92 mener jeg også å huske at noen kom seg dit i fjor med samme sum, og i og med at oppgavene virker vanskeligere i år er kanskje poenggrensene noe lavere?

[pluto10_eng_8c3]

Tror der min 137 (67+70) poeng holder til finale eller?

Hadde vært litt morsomt

[Fibonacci92]

Vel, du får vente til midten av februar for å se om du får brev i posten. Tidligere år har grensen vært på over 130. Jeg fikk 136 i fjor og kom med, og som sagt så mener jeg at noen også kom med med 132 poeng. Første runde i år var vanskeligere enn vanlig, men til gjengjeld var andre runde ganske grei. Det er altså ikke helt utenkelig at poenggrensen er litt lavere i år. Jeg tør derfor ikke love noe, men det er fullt mulig at du kommer med i finalen.

Du får bare vente i spenning:)

[DerKleineBollemann]

137 holder nok lett til finale, om det var 132 som var grensa ifjor. Eg såg resutatliste ifrå 1 runde og poengsummane var mykje lågare enn dei var ifjor.

[pluto10_eng_8c3]

Da har jeg fått vite at mine 137poeng holder til finale!