Store tall og uendelig

Store tall

Noen vil kanskje påstå at det største tallet som finnes er uendelig. Det er det ikke. Uendelig er mange tall og ikke ett tall. Det er også slik at noen uendelige mengder er større enn andre, selv om alle uendelige mengder inneholder uendelig mange elementer. Vi kommer tilbake til det.

En million er 1 000 000. En milliard er 1000 millioner, 1 000 000 000 . En million sekunder er litt over elleve dager. En milliard sekunder er over 31,7 år. Greier du å se for deg denne forskjellen?

Begge disse tallene er små i forhold til de virkelig store tallene man kjenner til.

Hvor store tall trenger man?

Dersom mann skal snakke om årslønn er 100 000 en grei størrelse for de fleste. Dersom man tjener godt greier man seg gjerne med millioner. Dersom man snakker om verdens befolkning er milliarder greit å kjenne, vi er ca 7.687.593.000 personer på jorden ( 17:55 den 02.03.2019). Det er litt mere praktisk å si at vi er ca. 7,7 milliarder. Trenger vi større tall?

"At this level, it is estimated that the there are between $10^{78}$ to $10^{82}$ atoms in the known, observable universe."

Googol

Googol er navnet på $10^{100}$, altså ett 1 tall med 100 nuller bak, 101 siffer etter hverandre. Dette tallet kan skrives ut, men det tar litt tid. Det finnes uendelig mange tall, og det finnes uendelig mange tall større enn en google.

Dette tallet er altså mere enn stort nok dersom vi skulle telle alle atomene i universet. Men det kan jo tenkes at vi ønsker noe større...

Notasjon og betydning

La oss se på et helt vanlig tall, 3. La oss tenke oss at vi har tre siffer til rådighet, alle tretall. Altså 3, 3, 3.

For å lage et større tall en tre kan vi legge dem sammen:

$3 + 3+ 3 =9$

Dersom vi ikke er fornøyde med størrelsen kan vi multiplisere dem:

$3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Eller enda større: $3^{3^3} = 3^{27} = 7 625 597 484 987$

En skrivemåte for større tall er å bruke piler som peker oppover:

En pil

$3 \uparrow 3= 3^3 = 27$

$3 \uparrow 4= 3^4 = 81$

En pil har samme betydning som å skrive tallet som en potens. Det høyre tallet er eksponenten, og det venstre er grunntallet.

To piler

$ 3 \uparrow \uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} =7 625 597 484 987$

$ 3 \uparrow \uparrow 4 = 3^{3^{3^3}} = 3^{3^{27}} = 3^{7 625 597 484 987}$

Tre piler

$ 3 \uparrow \uparrow \uparrow3 = 3\uparrow\uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 = 3\uparrow\uparrow 3 ^{3^3} =3\uparrow\uparrow3^{27} =3\uparrow\uparrow 7 625 597 484 987$

$ 3 \uparrow \uparrow \uparrow 4 = 3\uparrow \uparrow 3\uparrow\uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 =....$

Rayo's tall

Rayo's tall er et ekstremt stort tall som ble formulert av matematikeren Agustín Rayo under en konkurranse i storskala tallteori i 2007. Det er kjent som et av de største tallene som har blitt beskrevet med en presis definisjon i matematikken. Tallet ble introdusert under et arrangement arrangert av filosofen Adam Elga ved Princeton University, hvor målet var å finne det største tallet som kunne beskrives med et visst antall symboler i et formelt språk.

Bakgrunn

Konkurransen gikk ut på å gi den mest omfattende definisjonen av et tall, innenfor rammene av et formelt språk som tillot matematiske definisjoner. Agustín Rayo vant konkurransen med det som senere ble kjent som Rayo's tall. Rayo brukte ideen om å kvantifisere over alle tall som kan defineres med et visst antall symboler, og konstruerte et tall som er større enn alle disse.

Formell definisjon

Rayo's tall kan uformelt defineres som:

Det minste tallet som er større enn alle naturlige tall som kan defineres med færre enn n symboler i det formelle språket til annenordens aritmetikk.

Det vil si at man tar for seg alle naturlige tall som kan defineres i et spesifikt formelt språk (for eksempel i Peano-aritmetikk eller annenordens aritmetikk) ved hjelp av en viss symbolbegrensning, og deretter definerer et tall som er større enn alle disse. Dette tallet vil da være Rayo(n), og selve Rayo's tall er vanligvis forstått som Rayo(10^100), altså brukt med et ekstremt stort input.

Viktige aspekter

• Rayo's tall er mye større enn Graham's tall og til og med større enn tall som defineres via Busy Beaver-funksjonen for store inputverdier.
• Det er ikke praktisk å skrive ut selve tallet — selv ikke å beskrive algoritmen som kunne produsere det er mulig innenfor vårt univers’ fysiske begrensninger.
• Rayo's tall handler mer om grensene for definisjon og formell representasjon enn om praktisk anvendelse.

Filosofisk betydning

Rayo's tall ble delvis utviklet som et svar på filosofiske spørsmål om hva det betyr å "definere" et tall. Det reiser interessante spørsmål innen logikk, matematisk filosofi og grensene for menneskelig og maskinell representasjon av kunnskap.

Se også

• Graham's tall
• Busy Beaver-funksjonen
• Stor tall-teori
• Formelle språk
• Matematisk logikk

Kilder

• Rayo, Agustín. "On Defining a Real Number." (2007)
• Wikipedia: Rayo's number
• Huggett, Nick. "Large Numbers and the Philosophy of Mathematics", University of Illinois at Chicago.