Komplekse tall

Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. <math>i^2</math> er størrelsen som tilfredstiller <math> i^2= -1</math>.

Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.

a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).

Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.

For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:

REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL

Potenser av <math>i^n</math> kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er <math>i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = - i</math>

Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere <math>Z_1 = 1 + 2i \quad og \quad Z_2 = 2 + 2i</math> blir resultatet <math>Z_3 = 3 + 4i</math>

Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som

Z + W = (a + c) + i(b + d).

Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;

Lengden av linjestykket <math>OZ_n</math> kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved <math>|Z_n| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>. <math>|Z_n|</math> kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet <math>Z_n</math>

Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi

Z - W = (a - c) + i(b - d)

Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden <math>OZ_n</math> og vinkelen mellom X aksen og linjestykket <math>OZ_n</math>.

Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :

Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >

punktet <math> \overline{Z}= a-bi</math> kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.

en viktig egenskap er:

<math>Z \cdot \overline{Z} = a^2 + b^2 =|Z|^2</math>

Multiplikasjon.

Multiplikasjon utføres på vanlig måte:

Divisjon.

Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:

Introduksjon til komplekse tall

Hva er komplekse tall?

Komplekse tall er en utvidelse av de reelle tallene og skrives på formen:

$z = a + bi$

Der:

$a$ er den reelle delen.
<math>b</math> er den imaginære delen.
<math>i</math> er den imaginære enheten, definert ved <math>i^2 = -1</math>.

Den imaginære enheten <math>i</math>

Siden <math>i^2 = -1</math>, følger: <math> i^3 = i \cdot i^2 = -i \\ i^4 = (i^2)^2 = 1 </math>

Dette mønsteret gjentar seg syklisk.

Den imaginære enheten i som potens av forskjellig grad

Den imaginære enheten i er definert som: <math> i = \sqrt{-1} </math> Den har spesielle egenskaper når den opphøyes i ulike potenser, og det finnes et periodisk mønster:

Grunnleggende egenskaper

\[ i^1 = i \]
\[i^2 = -1 \]
\[i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i \]
\[i^4 = i^3 \cdot i = (-i) \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1 \]

Periodisitet

Vi ser at etter fire potenser gjentar mønsteret seg: <math> i^5 = i^1 = i, \quad i^6 = i^2 = -1, \quad i^7 = i^3 = -i, \quad i^8 = i^4 = 1 </math>

Dermed kan vi generelt si at:

\[ i^n = \begin{cases} i, & \text{hvis } n \equiv 1 \pmod{4} \\ -1, & \text{hvis } n \equiv 2 \pmod{4} \\ -i, & \text{hvis } n \equiv 3 \pmod{4} \\ 1, & \text{hvis } n \equiv 0 \pmod{4} \end{cases} \]

Eksempler

<math> i^{10} </math>: Siden <math> 10 \equiv 2 \pmod{4} </math>, har vi <math> i^{10} = -1 </math>.
<math> i^{15} </math>: Siden <math> 15 \equiv 3 \pmod{4} </math>, har vi <math> i^{15} = -i </math>.
<math> i^{20} </math>: Siden <math> 20 \equiv 0 \pmod{4} </math>, har vi <math> i^{20} = 1 </math>.

Dette mønsteret kan brukes til raskt å finne verdien av <math> i^n </math> for enhver eksponent n.

Regning med komplekse tall

Addisjon og subtraksjon

To komplekse tall <math>z_1 = a + bi</math> og <math>z_2 = c + di</math> adderes slik: <math>

z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

</math> Eksempel: <math>

(3 + 2i) + (1 - 4i) = 4 - 2i

</math>

Subtraksjon: <math>

z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

</math> Eksempel: <math>

(5 + 3i) - (2 + i) = 3 + 2i

</math>

Multiplikasjon

Bruk distribusjonsloven: <math> (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 </math>

Siden <math>i^2 = -1</math>, får vi:

Eksempel:

Konjugering og modulus

Komplekse konjugatet av $z = a + bi$ er: \[ \overline{z} = a - bi \]

Modulus av <math>z</math> er: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Eksempel: \[ |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]

Divisjon

For å dele <math>z_1</math> med <math>z_2</math>, multipliserer vi med konjugatet av nevneren: <math>

�rac{z_1}{z_2} = �rac{(a + bi)}{(c + di)} 	imes �rac{(c - di)}{(c - di)}

</math> Eksempel: <math>

�rac{3 + 2i}{1 - i} = �rac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = �rac{1 + 5i}{2} = �rac{1}{2} + �rac{5}{2}i

</math>

Geometrisk tolkning

Komplekse tall kan representeres som punkter i et koordinatsystem:

Reell del langs <math>x</math>-aksen.
Imaginær del langs <math>y</math>-aksen.

Polarform

Ethvert komplekst tall kan skrives som: <math>

z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)

</math> Der: <math>

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad 	heta = 	an^{-1} \left( �rac{b}{a} \right)

</math>

Eksempel: <math>

z = 1 + i \Rightarrow r = \sqrt{2}, \quad 	heta = �rac{\pi}{4}

</math>

Eulers formel og eksponentiell representasjon

Eulers formel: <math> e^{i heta} = \cos heta + i \sin heta </math>

Polarformen kan derfor skrives som: <math> z = r e^{i heta} </math>

De Moivres teorem og røtter

De Moivres teorem:

Generell formel for <math>n</math>-te røtter:

Eksempel: Kvadratroten av <math>i</math>:

<math> \sqrt{i} = e^{i\pi/4} = \pm \left(�rac{\sqrt{2}}{2} + i�rac{\sqrt{2}}{2} \right) </math>

Oppgaver med komplekse tall

Eksempel 1: Regn ut $(3 + 4i) + (5 - 2i)$

Løsning: \[ (3 + 4i) + (5 - 2i) = 3 + 5 + (4i - 2i) = 8 + 2i \]

Eksempel Subtraksjon Regn ut $(7 + 6i) - (2 + 3i)$

Løsning: \[ (7 + 6i) - (2 + 3i) = (7 - 2) + (6i - 3i) = 5 + 3i \]

Oppgave 3: Multiplikasjon

Regn ut $(2 + 3i) \cdot (4 - i)$

Løsning: \[ (2 + 3i)(4 - i) = 2\cdot4 + 2\cdot(-i) + 3i\cdot4 + 3i\cdot(-i) \] \[ = 8 - 2i + 12i - 3i^2 \] \[ = 8 + 10i - (-3) \] \[ = 11 + 10i \]

Oppgave 4: Divisjon

Regn ut $\frac{5 + 2i}{3 - i}$

Løsning: Multipliser teller og nevner med den konjugerte av nevneren: \[ \frac{(5 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} \] Beregning: \[ 5\cdot3 + 5\cdot i + 2i\cdot3 + 2i\cdot i = 15 + 5i + 6i + 2i^2 \] \[ = 15 + 11i - 2 \] \[ = 13 + 11i \] Nevner: \[ (3 - i)(3 + i) = 9 - i^2 = 9 + 1 = 10 \] Endelig svar: \[ \frac{13 + 11i}{10} = 1.3 + 1.1i \]

Oppgave 5: Potenser

Regn ut $(1 + i)^4$

Løsning: Bruk binomialteoremet eller direkte utregning: \[ (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \] \[ (2i)^2 = 4i^2 = -4 \]

Oppgave 6: Kvadratrot

Regn ut $\sqrt{-9}$

Løsning: \[ \sqrt{-9} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} = 3i \]

Oppgave 7: Eulers form

Skriv $1 + i$ på polarform.

Løsning: \[

r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}

\] \[ 1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4} \]

Oppgave 8: Eksponentiell form

Regn ut $e^{i\pi/2}$

Løsning: Ved Eulers formel: \[

e^{i\pi/2} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i

\]

Oppgave 9: Kubikkrot

Finn en kubikkrot av $8$.

Løsning: Vi løser $z^3 = 8$: \[

8 = 8e^{i0}, \text{ kubikkrot gir } 2e^{i0/3} = 2

\]

Oppgave 10: De Moivres teorem

Regn ut $(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^5$

Løsning: Bruk De Moivres teorem: \[

(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^5 = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}

\] \[

= \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})

\] \[

= \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}

\]