Lineær algebra

Lineær Algebra

Lineær algebra er en gren av matematikken som omhandler vektorer, matriser og lineære transformasjoner. Dette fagfeltet er fundamentalt i mange vitenskaper, inkludert fysikk, datafag og ingeniørfag.

Vektorer

En vektor er en størrelse som har både retning og størrelse. For eksempel kan vi representere en vektor i det tredimensjonale rommet slik:

<math> \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix} </math>

Vi kan legge sammen to vektorer ved å addere deres respektive komponenter:

<math> \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} </math>

<math> \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1+4 \\ 2+5 \\ 3+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{bmatrix} </math>

Du støter på vektorer i R1 og R2. Skriver man dem oftest horisontalt. En vektor i rommet kan da skrives $[x, y, z]$. I ditt videre studie vil du trolig treffe på engelskspråklige lærebøker. Da er denne skrivemåten vanlig: <math> \mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} </math>. Det er bare forskjellige måter å uttrykke det samme på.

Matriser

En matrise er en tabell av tall som består av rader (bortover) og kolonner (nedover). Matrisen A nedenfor, har tre rader og fire kolonner.

<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} </math>

Matrisen er en 3 x 4 matrise. Det gir oss dimensjonen på matrisen, 3 rader og 4 kolonner. Generelt snakker vi om m x n matriser, der m er antall rader og n antall kolonner. Matrisen består 12 elementer, alle med en unik posisjon. Generellt:

\[ A = (a_{ij}) = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{bmatrix} \]

Indeksene i og j er nummeret på henholdsvis radnummer og kolonnenummer.

Matriseaddisjon (og subtraksjon)

Dersom matrisene har samme dimensjon kan de legges sammen. Man legger da sammen elementene i samme posisjon.

Matriser med samme dimensjon kan adderes og subtraheres. Resultatet blir en matrise med samme dimensjon som disse.

\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}+ b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix} \]

Eksempel 1:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]

Matrisemultiplikasjon

Med en skalar (tall)

Multiplikasjon av en matrise med en skalar gjøres ved å multiplisere hvert element i matrisen, med skalaren.

\[ A =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \]

\[ kA = k \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} \end{bmatrix} \]

Eksempel 2:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \]

Multiplikasjon av en matrise med en skalar gjøres ved å multiplisere hvert element i matrisen, med skalaren:

\[ 3A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} \]

Eksempel 3: Hvis vi bruker en negativ skalar, f.eks. \( k = -2 \):

\[ -2 \cdot \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \cdot 5 & -2 \cdot (-1) \\ -2 \cdot 0 & -2 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 2 \\ 0 & -8 \end{bmatrix} \]

La \( A \) og \( B \) være matriser av samme dimensjon og \( k, m \) være skalarer. Da gjelder følgende regler:

• Distributivitet over matriseaddisjon:

\[ k \cdot (A + B) = k \cdot A + k \cdot B \]

• Distributivitet over skalarmultiplikasjon:

\[ (k + m) \cdot A = k \cdot A + m \cdot A \]

• Assosiativitet for skalarer:

\[ k \cdot (m \cdot A) = (k \cdot m) \cdot A \]

• Nøytrale elementer:

\[ 1 \cdot A = A, \quad 0 \cdot A = 0 \]

Disse reglene sikrer at skalarmultiplikasjon er konsistent med vanlige algebraiske operasjoner.

To matriser Multiplikasjon av to matriser utføres ved å ta skalarproduktet av radene i den første matrisen med kolonnene i den andre matrisen. For at to matriser skal kunne multipliseres, må antall kolonner i den første matrisen være lik antall rader i den andre matrisen.

Gitt to matriser \( A \) og \( B \), der \( A \) har dimensjon \( m \times n \) og \( B \) har dimensjon \( n \times p \), kan produktet \( C = A \cdot B \) defineres som en matrise med dimensjon \( m \times p \), der elementene \( c_{ij} \) beregnes som:

\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} \]

Dette betyr at elementet i rad \( i \), kolonne \( j \) i produktmatrisen er summen av produktet av elementene i rad \( i \) i \( A \) og kolonne \( j \) i \( B \).

Eksempel 4:

La oss multiplisere en \( 2 \times 3 \)-matrise med en \( 3 \times 2 \)-matrise:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \]

Da beregner vi produktet \( C = A \cdot B \):

\[ C = \begin{bmatrix} (1\cdot7 + 2\cdot9 + 3\cdot11) & (1\cdot8 + 2\cdot10 + 3\cdot12) \\ (4\cdot7 + 5\cdot9 + 6\cdot11) & (4\cdot8 + 5\cdot10 + 6\cdot12) \end{bmatrix} \]

\[ = \begin{bmatrix} (7 + 18 + 33) & (8 + 20 + 36) \\ (28 + 45 + 66) & (32 + 50 + 72) \end{bmatrix} \]

\[ = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} \]

Dermed er produktet:

\[ C = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} \]

• Matrisemultiplikasjon er generelt ikke kommutativ, dvs. \( A \cdot B \neq B \cdot A \) i de fleste tilfeller.
• Den assosiative loven gjelder:

\[ (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \]

• Den distributive loven gjelder:

\[ A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \]

• Multiplikasjon med identitetsmatrisen \( I \) gir \( A \cdot I = I \cdot A = A \).

Radoperasjoner

Bytte to rader <math> \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} </math>

Multiplisere en rad med en skalar (f.eks. 2) <math> \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} </math>

Legge til et multiplum av en rad til en annen rad (f.eks. legge til 2 ganger rad 1 til rad 2) <math> \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3+2\cdot1 & 4+2\cdot2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} </math>

Identitetsmatrisen

En identitetsmatrise er en kvadratisk matrise der alle elementer på hoveddiagonalen er 1, og alle andre elementer er 0. Den betegnes ofte som \( I \).

Eksempel på en \( 3 \times 3 \) identitetsmatrise:

<math> I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>

• • Egenskaper:**

1. Når en hvilken som helst matrise \( A \) multipliseres med identitetsmatrisen, forblir den uendret: \( AI = IA = A \). 2. Identitetsmatrisen fungerer som nøytralt element i matriseproduktet.

Invers av en Matrise

Å invertere en matrise betyr å finne en annen matrise som, når den multipliseres med den opprinnelige matrisen, gir identitetsmatrisen:

<math> A^{-1} A = I </math>

En matrise har en invers hvis og bare hvis dens determinant er ulik null.

For en \( 2 \times 2 \) matrise \( A \) gitt ved:

<math> A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} </math>

kan vi finne inversen ved:

<math> A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} </math>

hvor \( \det(A) = ad - bc \) må være ulik null.

• • Eksempel:**

For matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} </math>

blir determinanten:

<math> \det(A) = (1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) = -2 </math>

og inversen er:

<math> A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} </math>

• • Hvorfor invertere en matrise?**

1. **Løse lineære ligningssystemer:** Hvis \( Ax = b \), kan vi finne løsningen ved å multiplisere med \( A^{-1} \):

<math> x = A^{-1}b </math>

2. **Transformasjoner:** Inversen brukes til å reversere lineære transformasjoner, for eksempel i datagrafikk og robotikk.

3. **Økonomi og statistikk:** Brukes i regresjonsanalyse og andre statistiske beregninger.

Løsning av et lineært likningssett med matriser

Vi tar utgangspunkt i følgende system av fire lineære likninger med fire ukjente:

<math> \begin{cases} x + 2y - z + w = 3 \\ 2x - y + 3z - w = 1 \\ 3x + y - 2z + 2w = 4 \\ x - 3y + 2z + w = 2 \end{cases} </math>

Dette systemet kan skrives på matriseform som <math>AX = B</math>, hvor

<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} </math>

Vi løser systemet ved hjelp av Gauss-jordaneliminasjon, der vi utfører radoperasjoner for å omforme den utvidede matrisen <math>[A | B]</math> til redusert trappeform.

Steg 1: Initial utvidet matrise

<math> \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -2 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 2 \end{array} \right] </math>

Steg 2: Gjør første element i første kolonne til 1

Første pivot er allerede 1, så vi fortsetter.

Steg 3: Null ut elementer under første pivot

Trekk 2 ganger første rad fra andre rad: <math> R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 </math>

Trekk 3 ganger første rad fra tredje rad: <math> R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1 </math>

Trekk første rad fra fjerde rad: <math> R_4 \leftarrow R_4 - R_1 </math>

Gir: <math> \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & -5 & 5 & -3 & -5 \\ 0 & -5 & 1 & -1 & -5 \\ 0 & -5 & 3 & 0 & -1 \end{array} \right] </math>

Steg 4: Gjør andre pivot til 1

Divider andre rad på -5: <math> R_2 \leftarrow \frac{1}{-5} R_2 </math>

Gir: <math> \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & \frac{3}{5} & 1 \\ 0 & -5 & 1 & -1 & -5 \\ 0 & -5 & 3 & 0 & -1 \end{array} \right] </math>

Steg 5: Null ut elementer under og over andre pivot

Legg til 5 ganger andre rad i tredje og fjerde rad: <math> R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2, \quad R_4 \leftarrow R_4 + 5R_2 </math>

Trekk 2 ganger andre rad fra første rad: <math> R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 </math>

Resultat: <math> \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & 1 \\ 0 & 1 & -1 & \frac{3}{5} & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 3 & 4 \end{array} \right] </math>

Steg 6: Gjør tredje pivot til 1

Divider tredje rad på -4: <math> R_3 \leftarrow \frac{1}{-4} R_3 </math>

Gir: <math> \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & 1 \\ 0 & 1 & -1 & \frac{3}{5} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 3 & 4 \end{array} \right] </math>

Steg 7: Null ut elementer over og under tredje pivot

Trekk 8 ganger tredje rad fra fjerde rad: <math> R_4 \leftarrow R_4 - 8R_3 </math>

Legg til tredje rad i første rad og andre rad: <math> R_1 \leftarrow R_1 - R_3, \quad R_2 \leftarrow R_2 + R_3 </math>

Gir: <math> \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{10} & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{10} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 4 \end{array} \right] </math>

Steg 8: Gjør siste pivot til 1

Divider fjerde rad på 7: <math> R_4 \leftarrow \frac{1}{7} R_4 </math>

Til slutt nuller vi elementer over siste pivot for å få en enhetsmatrise til venstre. Dette gir løsningen:

<math> \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.7 \\ 0.9 \\ 0.3 \\ 0.57 \end{bmatrix} </math>

Når har et system ingen eller uendelig mange løsninger?

• Ingen løsning: Hvis en rad i den utvidede matrisen har formen <math>[0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad c]</math> der <math>c \neq 0</math>, er systemet inkonsistent.

• Uendelig mange løsninger: Hvis en rad har formen <math>[0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0]</math>, har systemet en fri variabel, og det finnes uendelig mange løsninger.

Løsning av et lineært likningsett med tre ukjente ved hjelp av matriser

Vi tar utgangspunkt i et lineært likningsett med tre ukjente:

\[ \begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + 3z = 7 \\ 4x + y + z = 5 \end{cases} \]

Dette kan skrives som en utvidet matrise:

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 7 \\ 4 & 1 & 1 & 5 \end{array} \right] \]

Vi utfører Gauss-eliminasjon:

1. Subtraherer 2 ganger første rad fra andre rad:

  \[
  R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1
  \]

2. Subtraherer 4 ganger første rad fra tredje rad:

  \[
  R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1
  \]

Matrisen blir:

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -3 & -7 \end{array} \right] \]

3. Bytter om andre og tredje rad for å forenkle:

  \[
  R_2 \leftrightarrow R_3
  \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -3 & -7 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \end{array} \right] \]

4. Gjør pivot i andre kolonne til 1 ved å dele R2 på -3:

  \[
  R_2 \leftarrow \frac{R_2}{-3}
  \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{7}{3} \\ 0 & -3 & 1 & 1 \end{array} \right] \]

5. Nuller ut tredje rad, andre kolonne ved:

  \[
  R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2
  \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{7}{3} \\ 0 & 0 & 4 & \frac{10}{3} \end{array} \right] \]

6. Gjør tredje kolonne til en enhetsmatrise ved å dele siste rad på 4:

  \[
  R_3 \leftarrow \frac{R_3}{4}
  \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{7}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{6} \end{array} \right] \]

7. Nuller ut de øvre radene i tredje kolonne:

  \[
  R_2 \leftarrow R_2 - R_3
  \]
  \[
  R_1 \leftarrow R_1 - R_3
  \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & \frac{13}{6} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{9}{6} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{6} \end{array} \right] \]

Fra denne kan vi lese av løsningen:

\[ x = \frac{13}{6}, \quad y = \frac{9}{6}, \quad z = \frac{5}{6} \]

Tilfelle med ingen løsninger

Dersom en rad ender opp som en selvmotsigelse, for eksempel:

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array} \right] \]

så betyr siste rad \( 0 = 5 \), som er en selvmotsigelse. Da har likningssettet ingen løsninger.

Tilfelle med en fri variabel

Dersom vi får en rad som er identisk null, for eksempel:

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \]

så har vi en fri variabel. Hvis vi lar \( z = t \), kan vi skrive løsningen som:

\[ x = 2 + t, \quad y = -3 - 2t, \quad z = t \]

Dette gir en uendelig mengde løsninger parametrisert ved \( t \).

Konklusjon

- Hvis vi får en motstridende rad (f.eks. \( 0 = 5 \)), har vi ingen løsninger. - Hvis vi får en rad med bare nuller, har vi en fri variabel og uendelig mange løsninger. - Hvis matrisen kan reduseres til en trappeform der alle ukjente har en unik verdi, har vi én entydig løsning.

Determinanter

Determinanten til en \( 2 \times 2 \) matrise er gitt ved:

<math> \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc </math>

For eksempel, for matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} </math>

blir determinanten:

<math> \det(A) = (1\cdot4 - 2\cdot3) = -2 </math>

Bruksområder for Determinanter:

• Løse lineære ligningssystemer: Determinanter brukes til å avgjøre om et system har en entydig løsning. Hvis determinanten til koeffisientmatrisen er null, er systemet enten inkonsistent eller har uendelig mange løsninger.

• Finne inversen av en matrise: En matrise er inverterbar hvis og bare hvis dens determinant er ulik null.

• Geometrisk tolkning: Determinanten av en \( 2 \times 2 \) eller \( 3 \times 3 \) matrise kan tolkes som arealet eller volumet av en parallellogram eller parallellpiped dannet av vektorene i matrisen.

• Transformasjoner og endringer i volum: I datagrafikk og fysikk brukes determinanter til å forstå hvordan transformasjoner påvirker geometriske objekter.

• • Konkret eksempel:**

Anta at vi har en transformasjonsmatrise som skalerer områder i planet:

<math> T = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} </math>

Da er determinanten:

<math> \det(T) = (3 \cdot 4 - 1 \cdot 2) = 10 </math>

Dette betyr at en figur i planet som transformeres av \( T \) vil få sitt areal skalert med en faktor på 10.

• • Hvorfor er dette viktig?**

- **I fysikk**: Determinanter brukes for å beregne volumendringer under deformasjoner i elastisitetsteori. - **I maskinlæring**: Determinanter brukes til å vurdere om en matrise har en unik løsning i systemer av ligninger, noe som er viktig for å trene modeller. - **I datagrafikk**: Determinanter brukes til å forstå hvordan en transformasjon påvirker bildet eller modellen.

• • Determinanter og Vektorprodukt:**

Vektorproduktet (kryssproduktet) av to vektorer i \( \mathbb{R}^3 \) er definert ved hjelp av determinanter:

<math> \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} </math>

Dette utvides til:

<math> \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix} </math>

• • Geometrisk tolkning:** Kryssproduktet av to vektorer gir en tredje vektor som står vinkelrett på de to opprinnelige vektorene. Lengden av kryssproduktet tilsvarer arealet av parallellogrammet spent ut av de to vektorene.

• • Eksempel:**

La \( \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \) og \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} \), da er

<math> \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) \\ (3 \cdot 4 - 1 \cdot 6) \\ (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix} </math>

Dette betyr at vektoren \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) er vinkelrett på både \( \mathbf{a} \) og \( \mathbf{b} \), noe som er viktig i fysikk (f.eks. moment og elektromagnetisme) og datagrafikk.

Egenverdier og Egenvektorer

Egenverdier for en matrise \( A \) finnes ved å løse ligningen:

<math> \det(A - \lambda I) = 0 </math>

For matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} </math>

får vi karakteristisk ligning:

<math> \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(2-\lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 </math>

Løser vi for \( \lambda \), får vi egenverdiene \( \lambda_1 = 3 \) og \( \lambda_2 = 1 \).

Egenvektorer finnes ved å løse \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \) for hver egenverdi.

Egenverdier og Egenvektorer

En egenverdi \( \lambda \) og en egenvektor \( \mathbf{v} \) til en matrise \( A \) er definert ved ligningen:

<math> A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} </math>

Dette betyr at når matrisen \( A \) multipliseres med egenvektoren \( \mathbf{v} \), får vi tilbake en skalert versjon av \( \mathbf{v} \), der \( \lambda \) er skalaren.

• • Hvorfor er egenverdier og egenvektorer viktige?**

1. **Dynamiske systemer:** Egenverdier brukes til å analysere stabilitet og oppførsel til systemer over tid, for eksempel i fysikk og økonomi. 2. **Databehandling:** PCA (hovedkomponentanalyse) i maskinlæring bruker egenverdier for å redusere dimensjonalitet. 3. **Differensiallikninger:** Brukes til å finne løsninger av lineære differensiallikninger. 4. **Grafteori:** I nettverksanalyse brukes egenverdier til å forstå strukturer og forbindelser.

• • Eksempel:**

Gitt matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} </math>

Finn egenverdiene ved å løse determinantlikningen

<math> \det(A - \lambda I) = 0 </math>

<math> \begin{vmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (4 - \lambda)(1 - \lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 </math>

Løsningene gir egenverdier \( \lambda_1 = 3 \) og \( \lambda_2 = 2 \).

Tilhørende egenvektorer finnes ved å løse \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \).

Konklusjon

Lineær algebra er et kraftig verktøy som brukes i mange fagfelt. Vektorer, matriser og lineære ligninger er fundamentale konsepter som gir grunnlaget for mer avansert matematikk og anvendelser.