Komplekse tall
Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. <math>i^2</math> er størrelsen som tilfredstiller <math> i^2= -1</math>.
Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.
a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).
Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.
For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:
REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL
Potenser av <math>i^n</math> kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er <math>i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = - i</math>
Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere <math>Z_1 = 1 + 2i \quad og \quad Z_2 = 2 + 2i</math> blir resultatet <math>Z_3 = 3 + 4i</math>
Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som
Z + W = (a + c) + i(b + d).
Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;
Lengden av linjestykket <math>OZ_n</math> kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved <math>|Z_n| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>. <math>|Z_n|</math> kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet <math>Z_n</math>
Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi
Z - W = (a - c) + i(b - d)
Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden <math>OZ_n</math> og vinkelen mellom X aksen og linjestykket <math>OZ_n</math>.
Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :
Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >
punktet <math> \overline{Z}= a-bi</math> kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.
en viktig egenskap er:
<math>Z \cdot \overline{Z} = a^2 + b^2 =|Z|^2</math>
Multiplikasjon.
Multiplikasjon utføres på vanlig måte:
<math>(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i</math>
Divisjon.
Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:
<math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac {ac-adi +bci -bdi^2}{c^2 -cdi + cdi -d^2i^2}= \frac {ac+bd -(ad-bc)i}{c^2 + d^2}</math>
Introduksjon til komplekse tall
Hva er komplekse tall?
Komplekse tall er en utvidelse av de reelle tallene og skrives på formen: <math> z = a + bi </math>
Der:
- <math>a</math> er den reelle delen.
- <math>b</math> er den imaginære delen.
- <math>i</math> er den imaginære enheten, definert ved <math>i^2 = -1</math>.
Den imaginære enheten <math>i</math>
Siden <math>i^2 = -1</math>, følger: <math>
i^3 = i \cdot i^2 = -i \\ i^4 = (i^2)^2 = 1
</math>
Dette mønsteret gjentar seg syklisk.
Regning med komplekse tall
Addisjon og subtraksjon
To komplekse tall <math>z_1 = a + bi</math> og <math>z_2 = c + di</math> adderes slik: <math>
z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i
</math> Eksempel: <math>
(3 + 2i) + (1 - 4i) = 4 - 2i
</math>
Subtraksjon: <math>
z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i
</math> Eksempel: <math>
(5 + 3i) - (2 + i) = 3 + 2i
</math>
Multiplikasjon
Bruk distribusjonsloven: <math> (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 </math> Siden <math>i^2 = -1</math>, får vi: <math> (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i </math> Eksempel: <math> (2 + 3i)(1 - 4i) = (2 \cdot 1 - 3 \cdot 4) + (2 \cdot (-4) + 3 \cdot 1)i = -10 - 5i </math>
Konjugering og modulus
Komplekse konjugatet av <math>z = a + bi</math> er: <math>
\overline{z} = a - bi
</math>
Modulus av <math>z</math> er: <math>
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
</math> Eksempel: <math>
|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5
</math>
Divisjon
For å dele <math>z_1</math> med <math>z_2</math>, multipliserer vi med konjugatet av nevneren: <math>
�rac{z_1}{z_2} = �rac{(a + bi)}{(c + di)} imes �rac{(c - di)}{(c - di)}
</math> Eksempel: <math>
�rac{3 + 2i}{1 - i} = �rac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = �rac{1 + 5i}{2} = �rac{1}{2} + �rac{5}{2}i
</math>
Geometrisk tolkning
Komplekse tall kan representeres som punkter i et koordinatsystem:
- Reell del langs <math>x</math>-aksen.
- Imaginær del langs <math>y</math>-aksen.
Polarform
Ethvert komplekst tall kan skrives som: <math>
z = r(\cos heta + i \sin heta)
</math> Der: <math>
r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad heta = an^{-1} \left( �rac{b}{a} \right)
</math>
Eksempel: <math>
z = 1 + i \Rightarrow r = \sqrt{2}, \quad heta = �rac{\pi}{4}
</math>
Eulers formel og eksponentiell representasjon
Eulers formel: <math>
e^{i heta} = \cos heta + i \sin heta
</math> Polarformen kan derfor skrives som: <math>
z = r e^{i heta}
</math>
De Moivres teorem og røtter
De Moivres teorem: <math>
(\cos heta + i \sin heta)^n = \cos(n heta) + i\sin(n heta)
</math>
Generell formel for <math>n</math>-te røtter: <math>
z_k = r^{1/n} e^{i( heta + 2\pi k)/n}, \quad k = 0, 1, ..., n-1
</math>
Eksempel: Kvadratroten av <math>i</math>: <math>
\sqrt{i} = e^{i\pi/4} = \pm \left(�rac{\sqrt{2}}{2} + i�rac{\sqrt{2}}{2} \right)
</math>