Initialbetingelser: Forskjell mellom sideversjoner

Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58

En initialbetingelse(også kalt startbetingelse) for en differensialligning er en føring som pålegges løsningen i "startøyeblikket" og som bestemmer verdiene til alle ukjente konstanter som opptrer naturlig i løsningen.

Initialverdiproblem

Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. Dersom f(x) er den ukjente funksjonen i diff.ligningen vil typiske initialbetingelser være på formen <math>f(0)=\alpha</math> og <math>f^,(0)=\beta</math> etc. for gitte konstanter.

Eksempel

La oss se på initialverdiproblemet <math>f^,(x)=f(x)</math> med initialbetingelsen <math>f(0)=10</math>. Løsningen av ligningen er <math>f(x)=ce^x</math>. Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må <math>f(0)=ce^0=c=10</math>. Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor <math>f(x)=10e^x</math>.

@@ Linje 4: / Linje 4: @@
 == Initialverdiproblem ==
-Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. Dersom f(x) er den ukjente funksjonen i diff.ligningen vil typiske initialbetingelser være på formen <math>f(0)=\alpha</tex> og <math>f^,(0)=\beta</tex> etc. for gitte konstanter.
+Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. Dersom f(x) er den ukjente funksjonen i diff.ligningen vil typiske initialbetingelser være på formen <math>f(0)=\alpha</math> og <math>f^,(0)=\beta</math> etc. for gitte konstanter.
@@ Linje 11: / Linje 11: @@
 '''Eksempel'''
-:La oss se på initialverdiproblemet <math>f^,(x)=f(x)</tex> med initialbetingelsen <math>f(0)=10</tex>. Løsningen av ligningen er <math>f(x)=ce^x</tex>. Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må <math>f(0)=ce^0=c=10</tex>. Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor <math>f(x)=10e^x</tex>.
+:La oss se på initialverdiproblemet <math>f^,(x)=f(x)</math> med initialbetingelsen <math>f(0)=10</math>. Løsningen av ligningen er <math>f(x)=ce^x</math>. Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må <math>f(0)=ce^0=c=10</math>. Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor <math>f(x)=10e^x</math>.
 </blockquote>