Integrasjonsregler: Forskjell mellom sideversjoner

Sideversjonen fra 4. jul. 2011 kl. 05:12

Det er nødvendig å være fortrolig med derivasjon før du går løs på integrasjon.

Å integrere er det samme som å antiderivere funksjonen. Integrasjon er den motsatte regneoperasjonen av derivasjon, nesten:

Vi kaller for et ubestemt integral og funksjonsutrykket f(x) for integranden. er integrasjonstegnet og C er en konstant. Siden den deriverte av en konstant er null finnes det uendelig mange antideriverte til f(x). Det er derfor ikke helt riktig å si at derivasjon og integrasjon er omvendte regneoperasjoner (men vi gjør det ofte likevel).

Nedenfor følger en del integrasjonsregler med tilhørende eksempler.

REGEL	EKSEMPEL
<tex>\int kdx = kx + C</tex>	<tex>\int 2dx = 2x + C</tex>
<tex>\int x^n dx = \frac {1}{n+1} x^{n+1} + C</tex>	<tex>\int x^7 dx = \frac 18 x^{8} + C</tex>
<tex>\int kf(x)dx = k \int f(x)dx + C</tex>	f(x)= C
Polynom	<tex>(x^3 -4x^2 +2x -1)' = 3x^2 - 8x + 2</tex>
Eksponentialfunksjonen a^x	f (x) = a^x
Eksponentialfunksjonen e^x	f (x) = e^x
Produkt Bevis Eksempel	f(x)<tex>\cdot</tex>g(x)
Sinus	f'(x) = cos x
Cosinus	f'(x) = -sin x
Tangens	<tex>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}</tex> eller <tex> f ' (x)= 1 + tan^2x </tex>
Kvotient	f (x)=<tex>\frac{g(x)}{h(x)}</tex>
Kjerneregel	y = g(u) u er en funksjon av x

Integrasjon

@@ Linje 25: / Linje 25: @@
 </tr>
 <tr>
-   <td>Konstant</td>
+   <td> <tex>\int kf(x)dx = k \int f(x)dx + C</tex> </td>
    <td> f(x)= C  </td>
-   <td> C' = 0</td>
+   </tr>
-  <td> (5)' = 0</td>
-</tr>
 <tr>
    <td>Polynom</td>
-   <td> f(x) = g(x)+ h(x) +...   </td>
-   <td> f '(x) = g'(x) + h'(x) +... </td>
    <td><tex>(x^3 -4x^2 +2x -1)' = 3x^2 - 8x + 2</tex></td>
 </tr>
@@ Linje 39: / Linje 37: @@
    <td> Eksponentialfunksjonen a<sup>x</sup> </td>
    <td> f (x) = a<sup>x</sup></td>
-   <td> f '(x) = a<sup>x</sup>ln a</td>
 </tr>
 <tr>
    <td> Eksponentialfunksjonen e<sup>x</sup> </td>
    <td> f (x) = e<sup>x</sup></td>
-   <td> f '(x) = e<sup>x</sup></td>
 </tr>
@@ Linje 50: / Linje 48: @@
    <td>Produkt<br>[[Bevis]]<br>[[Eksempel på derivasjon med produktregelen|Eksempel]]</td>
    <td> f(x)<tex>\cdot</tex>g(x)  </td>
-   <td>   [f(x)<tex>\cdot</tex>g(x)]'= f '(x)<tex>\cdot</tex>g(x)+ f(x)<tex>\cdot</tex>g '(x) </td>
-  <td>   <tex>(4x^3cos(x))'= 12x^2cos(x)-4x^3sin(x) \\ = 4x^2(3cos(x)-xsin(x))</tex> </td>
 </tr>
 <tr>
    <td> [[Sinus]] </td>
-  <td> f(x) = sin x</td>
    <td>f'(x) = cos x </td>
 </tr>
 <tr>
    <td> Cosinus </td>
-  <td> f(x) = cos x</td>
+   <td>f'(x) = -sin x </td>
-  <td>f'(x) = -sin x </td>
 </tr>
 <tr>
    <td> Tangens </td>
-  <td> f (x) = tan x</td>
+   <td> <tex>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}</tex> eller <tex>  f ' (x)= 1 + tan^2x </tex>  </td>
-  <td> <tex>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}</tex> eller <tex>  f ' (x)= 1 + tan^2x </tex>  </td>
 </tr>
 <tr>
    <td> Kvotient </td>
    <td>   f  (x)=<tex>\frac{g(x)}{h(x)}</tex> </td>
-   <td>    f ' (x)=<tex>\frac{g ' (x)\cdot h(x)- g(x)\cdot h ' (x)}{(h(x))^2}</tex> </td>
+   </tr>
-  <td><tex>( \frac{sin x}{2x^3})' \\ = \frac{cosx \cdot 2x^3 - 6x^2sinx}{4x^6}\\ = \frac{xcosx-3sinx}{2x^4}</tex> </td>
-</tr>
 <tr>
    <td>Kjerneregel  </td>
    <td>y = g(u)<br>u er en funksjon av x </td>
-  <td>y ' = g ' (u)∙u' </td>
+ </tr>
-  <td><tex>(sin(x^2))' = 2x cos(x^2)</tex> </td>
-</tr>