2PY 2025 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på Matteprat

DEL 1

Oppgave 1

88 % av elevene deltar på undersøkelsen. Det vil si at 100 % - 88 % = 12 % ikke deltar på undersøkelsen

3 elever tilsvarer 12 %, som betyr at 1 elev tilsvarer 4 %.

100 % tilsvarer da 25 elever, fordi $\frac{100\,\%}{4\,\%}=25$

Det er 25 elever i klassen.

Oppgave 2

a)

Skriver tallene i stigende rekkefølge:

2 2 3 4 4 6 6 7 8 8

Medianen er det midterste tallet, her midt mellom 4 og 6. Medianen er 5.

Gjennomsnitt: $\frac{2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 6 + 7 + 8 + 8}{10}=\frac{50}{10}=5$

b)

Den kumulative frekvensen for 6 personer er 7. Det betyr at 7 vogner i skiheisen hadde 6 eller færre personer om bord.

Oppgave 3

a)

Prisen per elev er omvendt proporsjonal med antall elever som blir med, fordi antall elever ganger med prisen per elev er lik 8000 kr for alle punktene vi har fått oppgitt på grafen.

Det betyr at 20 elever vil måtte betale 8000 kr / 20 = 400 kroner per elev.

b)

$f(x)=\frac{8000}{x}$, hvor x er antall elever og f(x) er prisen per elev.

Oppgave 4

4 av 16 er en større andel enn 4 av 24. Det betyr at Fremskrittspartiet har hatt størst prosentvis fremgang.

Oppgave 5

$8\cdot 10^9-2\cdot 10^1$

Oppgave 6

a)

Det vil være 64 grønne kvadrater i figur nr. 5 (tegn den for å telle).

b)

Teller antall hvite kvadrater i de 5 første figurene: 1, 4, 7, 10, 13 Ser at antallet går opp med 3 hvite kvadrater for hver figur. Hvis vi sammenligner med 3-gangen, er tallene alltid 2 lavere enn 3-gangen. Formelen blir da:

$3n-2$

c)

Figurene er rektangler. Breddene er alltid to mer enn figurnummeret, altså n+2. Lengdene er oddetallene, altså 2n+1. Arealet av hvert rektangel blir da $(n+2)(2n+1)=2n^2+5n+2$

For å finne en formel for antall grønne kvadrater, tar vi formelen for hele rektangel, og trekker fra formelen for antall hvite kvadrater:

$2n^2+5n+2-(3n-2)=2n^2+2n+4$

Oppgave 7

GJENNOMSNITT:

Gjennomsnittsalder: $\frac{3810}{100}=38,1$

Trine har rett i at gjennomsnittsalderen er ca. 38 år. Hun har da antatt at personene i hver klasse i gjennomsnitt har alder tilsvarende klassemidtpunktet.

MEDIAN:

Medianen befinner seg i den klassen person nr. 50 er i, det vil si i klassen 20 til 40 år.

Person nr. 50, som befinner seg 30 personer "inn" i klassen [20,40>.

Vi antar at de 40 medlemmene fordeler seg jevnt i klassen [20,40>. Aldersforskjellen på hver person blir da 20/40=0,5 år. Person nr. 30 i klassen er 0,5*30 = 15 år "inn" i klassen, det vil si at han er 20+15=35 år.

Trine har antatt at personene sin alder fordeler seg jevnt i klassen.

Oppgave 8

En familie på 4 kaster 160 kg mat i 2025. Sofie ønsker å finne ut i hvilket år matsvinnet til en slik familie blir halvert, dersom de reduserer matsvinnet med 13 % per år.

Vekstfaktoren 0,87 angir en årlig reduksjon i avfall på 13 %.

En while-løkke beregner nytt matsvinn og nytt årstall, så lenge matsvinnet er større enn målet (halvert matsvinn).

Verdiene som blir skrevet ut forteller at i 2030, vil familien kaste ca. 79,7 kg mat.

DEL 2

Oppgave 1

a)

Planen er at prosessen som slipper ut 5000 tonn miljøskadelige stoffer per år skal redusere utslippene med 5 % per år (5000 er ganget med en vekstfaktor på 0,95). Den andre prosessen skal fortsette å slippe ut 1000 tonn per år (konstantleddet er 1000).

b)

Bruker Geogebra. Finner utslippet ved start: 6000 tonn per år (se punkt A). Finner ut når utslippet har nådd 3000 tonn per år, ved å finne skjæringspunktet mellom linja y=3000 og grafen til U (se punkt B).

Utslippet er halvert etter ca. 17,9 år.

c)

Finner utslippet etter 10 år, ved å finne skjæringspunktet mellom linja x=10 og grafen til U (se punkt C). Utslippet etter 10 år er ca. 3994 tonn per år. Bruker deretter CAS til å regne ut prosent endring i utslippene.

Etter 10 år er det årlige utslippet redusert med ca. 33,4 %.

d)

Legger inn punktene på grafen i Geogebra, og tegner en linje som går gjennom punktene. Bruker knappen "stigning" til å finne stigningstallet til denne linja.

Stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (0,U(0)) og (30,U(30)) er -130,9. Det betyr at utslippet til bedriften synker med gjennomsnittlig 130 tonn CO2 per år, mellom år 0 og år 30.

e)

Bedriften har ikke planlagt å redusere utslippet til prosessen som slipper ut 1000 tonn miljøskadelige stoffer per år (konstantleddet er 1000). Det vil derfor være umulig for bedriften å fylle kravet om utslipp på 800 tonn per år.

Oppgave 2

825 m = 825 000 mm

$\frac{825 000}{1,7} = 485 294 =4,85\cdot 10 ^5$

Du vil trenger omtrent $4,85\cdot 10 ^5$ kronestykker.

Oppgave 3

a)

PÅSTAND 1

Det er ikke sikkert medianalderen endres dersom det kommer en ny person inn i rommet. Dersom det kommer en ny person inn i rommet, får vi 11 personer (oddetall), og dersom personen er akkurat like gammel som medianalderen, vil ikke medianen endres. Dersom personen er yngre eller eldre enn medianalderen, vil medianen derimot endres.

b)

PÅSTAND 2

Bruker CAS i Geogebra.

Gjennomsnittsalderen kan bli 30 år dersom det kommer inn en person på 17 år.

Oppgave 4

Finner pris per milliliter for flasken på 600 mL.

$\frac{114}{600}=0,19$ kr/mL.

Pris for flasken på 100 mL blir da:

$0,19\cdot 100=19$ kr.

Pris for flasken på 4 liter = 4000 mL blir da:

$0,19\cdot 4000=760$ kr.

Oppgave 5

a)

I dag: 8 meter.

Om 25 uker: 40 meter.

Da har skjerfet økt med 32 meter på 25 uker, det vil si 32/25 = 1,28 meter per uke.

Her er en lineær modell for lengden til skjerfet om x uker:

$y = 1,28x + 8$

b)

Oppgaven kan løses grafisk eller i CAS, men løses her ved regning, ved hjelp av modellen fra oppgave a.

$1,28x +8 = 17$

$1,28x=17-8$

$x=\frac{9}{1,28}$

$x\approx7$

Det tar ca. 7 uker før skjerfet er 17 meter langt.

Oppgave 6

a)

Vi kan løse oppgaven enten ved regresjon i Geogebra, eller ved regning.

Ved regresjon, legger jeg inn opplysningene i regenarket i Geogebra (se bilde), og bruker "regresjonsanalyse" og velger eksponentiell modell. Jeg får da modellen $y=12000\cdot 0,87^x$.

Ved regning bruker jeg CAS til å finne vekstfaktoren som halverer antall fugler etter 5 år (se bildet). Jeg løser likningen $12000\cdot x^5=6000$, og finner at vekstfaktoren må være 0,87.

b)

Finner skjæringspunktet mellom linja x=7 og grafen til F. Det vil være 4527 fugler om 7 år ifølge modellen (se punkt A).

c)

En reduksjon på 35 % gir en vekstfaktor på 0,65. Finner skjæringspunktet mellom linja $y=12000\cdot 0,65$ og grafen til F (se punkt B på bildet over). Det vil gå 3 år før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen.

Oppgave 7

Bruker Excel til ulike fremstillinger. Her velger seg søylediagrammer som viser fødselstall og dødstall sammen. Dette blir selvfølgelig et veldig likt diagram som å vise fødselsrate og dødsrate. Jeg velger et linjediagram for å vise utviklingen i fruktbarhetstall, og viser prosentvis endring i fruktbarhetstall i Excel. Det er mange flere beregninger man kan gjøre, dette er bare et utvalg.