1T 2025 vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på Matteprat

Løsningsforslag laget av SveinR

Løsning fra OpenMathBooks prosjektet

DEL EN

Oppgave 1

\[f(x) = \frac{12x-3}{2x+1}\]

Vertikal asymptote : $2x+1 =0 \Rightarrow 2x =-1 \Rightarrow x= - \frac12 $

Horisontal asymptote: $y =\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{12x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{12x}{x}- \frac{3}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac {1}{x}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{12- \frac{3}{x}}{2 + \frac {1}{x}} = 6$

Oppgave 2

\[x^2-4x-12<0 \]

Faktoriserer først uttrykket

\[x^2-4x-12=0 \] \[x= \frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{2} = \frac{4\pm 8}{2} \]

\[ x= -2 \vee x = 6 \]

\[ (x-6)(x+2) < 0 \]

\[ x \in <-2,6> \]

Oppgave 3

$f(x) = ax^2 +bx + c$

Siden den skjærer i (0,9) er c = 9.

Siden den har ett nullpunkt er $b^2- 4ac =0$ Dvs. $b^2 = 36a$

Velger a = 1 og får at b = -6 eller b = 6.

Mulig funksjonsuttrykk: \[ f(x) = x^2+ 6x +9 \]

(f har nullpunkt i -3 )

Oppgave 4

a)

$x^3-7x^2-10x+16=0$

Dette er en tredjegradslikning, så vi prøver oss fram. Tester med x= 1:

$1-7-10 +16 = 0$

x= 1 er en løsning. Vi utfører polynomdivisjon:

$x^2-6x -16 = 0$

Vi bruker abc- formelen og får x= -2 eller x = 8.

$L = \{- 2,1,8\}$

b)

Vi ser at funksjonen har samme uttrykket som likningen i a. Da vet vi at enten passer B eller C.

Vi deriverer og setter f'(0). Dersom svaret blir positivt, passer B. Blir det negativt passer C.

$f'(x)= 3x^2-14x-10$

$f'(0) = -10$, altså passer grafen C.

Ser også at f har et positivt konstantledd (16), som støtter graf C.

Oppgave 5

a)

Alle vinkler er 60 grader.

Normalen fra C på AB danner to 30, 60, 90 trekanter.

\[Sin (30^{\circ}) = \frac{\frac 12 AB}{ AC} = \frac{1}{2} \]

\[Cos (60^{\circ}) = \frac{\frac 12 AB}{ AC} = \frac{1}{2} \]

b)

Bruker arealsetningen:

\[ A= \frac 12 abSinC = \frac 12 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac 12 = 15 \]

c)

Bruker cosinussetningen:

\[ QR^2 = 8^2+3^2-2\cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac 12 \] \[ QR^2 =64 + 9 -24 \] \[ QR = 7 \]

Oppgave 6

En matematisk identitet er en likning som alltid er sann, for alle verdier av den variable (innenfor definisjonsmengden). Høyresiden er identisk med venstresiden for alle verdier av variablen, derfor får man x=x i CAS.

En likning som ikke er en identitet, er kun sann for spesifikke verdier av variabelen (løsninger).

Oppgave 7

Programmet sjekker minimumsverdien til funksjonen $f(x) = x^2+2x - 15 $ i intervallet [ - 5,5].

Løkken, som starter på linje 7 i programmet, regner ut verdien til gitt x verdi og fortsetter med det så lenge y verdien (f(x)) er mindre enn den forrige. Når det ikke lengre er tilfellet skriver programmet ut "verdi", som er minimumsverdien til andregradsfunksjonen.

Det som skrives ut er -16

\[ f'(x) = 2x+2 \]

\[f'(x) = 0 \Rightarrow x =-1 \]

\[f(-1) = -16 \]

Oppgave 2

x = antall store sekker

y = antall små sekker

Butikken solgte 48 store sekker og 32 små sekker.

Oppgave 4

Antall kvadrater i figur nr. n er: $A(n) = n^2+n +(n+1) = n^2+2n+1 $

a)

• Lager en løkke som løper gjennom de 20 første figurene
• Regner ut antall figurer på figur nr. n, ved å bruke formelen over
• Skriver ut resultatet

b)

Kolonne tre er ikke nødvendig i forhold til oppgaven, men det er jo greit å vite hvor mange kvadrater man bruke dersom man lager n figurer. Denne tellingen kommer fra linje 1 og 5.

Vi får følgende ut:

Man trenger 441 kvadrater for å lage figur nr. 20.

c)

Oppgave 6

Nevneren ma ha et uttrykk som gir to nullpunkter siden grafen på figuren har to bruddpunkt. Grafen krysser y aksen på den positive side. Konstantleddene i teller og nevner er begge negative. Når x = 0 får man negativ delt på negativt, som er positivt. funksjonen har et nullpunkt for en positiv x verdi, i dette tilfellet når 5x-2=0, altså $x = \frac 25$.

Nevneren kan ikke bli null. Konstantleddene i teller og nevner utgjør en positiv brøk når x=0.