1T 2025 vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på Matteprat

Løsningsforslag laget av SveinR

Løsning fra OpenMathBooks prosjektet

DEL EN

Oppgave 1

\[f(x) = \frac{12x-3}{2x+1}\]

Vertikal asymptote : $2x+1 =0 \Rightarrow 2x =-1 \Rightarrow x= - \frac12 $

Horisontal asymptote: $y =\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{12x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{12x}{x}- \frac{3}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac {1}{x}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{12- \frac{3}{x}}{2 + \frac {1}{x}} = 6$

Oppgave 2

\[x^2-4x-12<0 \]

Faktoriserer først uttrykket

\[x^2-4x-12=0 \] \[x= \frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{2} = \frac{4\pm 8}{2} \]

\[ x= -2 \vee x = 6 \]

\[ (x-6)(x+2) < 0 \]

Oppgave 3

$f(x) = ax^2 +bx + c$

Siden den skjærer i (0,9) er c = 9.

Siden den har ett nullpunkt er $b^2- 4ac =0$ Dvs. $b^2 = 36a$

Velger a = 1 og får at b = -6 eller b = 6.

Mulig funksjonsuttrykk: \[ f(x) = x^2+ 6x +9 \]

(f har nullpunkt i -3 )

Oppgave 4

a)

$x^3-7x^2-10x+16=0$

Dette er en tredjegradslikning, så vi prøver oss fram. Tester med x= 1:

$1-7-10 +16 = 0$

x= 1 er en løsning. Vi utfører polynomdivisjon:

$x^2-6x -16 = 0$

Vi bruker abc- formelen og får x= -2 eller x = 8.

$L = \{- 2,1,8\}$

b)

Vi ser at funksjonen har samme uttrykket som likningen i a. Da vet vi at enten passer B eller C.

Vi deriverer og setter f'(0). Dersom svaret blir positivt, passer B. Blir det negativt passer C.

$f'(x)= 3x^2-14x-10$

$f'(0) = -10$, altså passer grafen C.

Ser også at f har et positivt konstantledd (16), som støtter graf C.

Oppgave 5

a)

Alle vinkler er 60 grader.

Normalen fra C på AB danner to 30, 60, 90 trekanter.

Sin 30 = \frac{motatående katet}{ Hypotenus} = \frac{1}{2}