Komplekse tall

Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. <math>i^2</math> er størrelsen som tilfredstiller <math> i^2= -1</math>.

Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.

a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).

Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.

For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:

REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL

Potenser av <math>i^n</math> kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er <math>i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = - i</math>

Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere <math>Z_1 = 1 + 2i \quad og \quad Z_2 = 2 + 2i</math> blir resultatet <math>Z_3 = 3 + 4i</math>

Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som

Z + W = (a + c) + i(b + d).

Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;

Lengden av linjestykket <math>OZ_n</math> kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved <math>|Z_n| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>. <math>|Z_n|</math> kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet <math>Z_n</math>

Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi

Z - W = (a - c) + i(b - d)

Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden <math>OZ_n</math> og vinkelen mellom X aksen og linjestykket <math>OZ_n</math>.

Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :

Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >

punktet <math> \overline{Z}= a-bi</math> kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.

en viktig egenskap er:

<math>Z \cdot \overline{Z} = a^2 + b^2 =|Z|^2</math>

Multiplikasjon.

Multiplikasjon utføres på vanlig måte:

<math>(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i</math>

Divisjon.

Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:

<math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac {ac-adi +bci -bdi^2}{c^2 -cdi + cdi -d^2i^2}= \frac {ac+bd -(ad-bc)i}{c^2 + d^2}</math>

---

Introduksjon til komplekse tall

Hva er komplekse tall?

Komplekse tall er en utvidelse av de reelle tallene og skrives på formen: <math> z = a + bi </math>

Der:

• <math>a</math> er den reelle delen.
• <math>b</math> er den imaginære delen.
• <math>i</math> er den imaginære enheten, definert ved <math>i^2 = -1</math>.

Den imaginære enheten <math>i</math>

Siden <math>i^2 = -1</math>, følger: <math>

i^3 = i \cdot i^2 = -i \\ 
i^4 = (i^2)^2 = 1 

</math>

Dette mønsteret gjentar seg syklisk.

Regning med komplekse tall

Addisjon og subtraksjon

To komplekse tall <math>z_1 = a + bi</math> og <math>z_2 = c + di</math> adderes slik: <math>

z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

</math> Eksempel: <math>

(3 + 2i) + (1 - 4i) = 4 - 2i

</math>

Subtraksjon: <math>

z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

</math> Eksempel: <math>

(5 + 3i) - (2 + i) = 3 + 2i

</math>

Multiplikasjon

Bruk distribusjonsloven: <math> (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 </math> Siden <math>i^2 = -1</math>, får vi: <math> (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i </math> Eksempel: <math> (2 + 3i)(1 - 4i) = (2 \cdot 1 - 3 \cdot 4) + (2 \cdot (-4) + 3 \cdot 1)i = -10 - 5i </math>

Konjugering og modulus

Komplekse konjugatet av <math>z = a + bi</math> er: <math>

\overline{z} = a - bi

</math>

Modulus av <math>z</math> er: <math>

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

</math> Eksempel: <math>

|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

</math>

Divisjon

For å dele <math>z_1</math> med <math>z_2</math>, multipliserer vi med konjugatet av nevneren: <math>

�rac{z_1}{z_2} = �rac{(a + bi)}{(c + di)} 	imes �rac{(c - di)}{(c - di)}

</math> Eksempel: <math>

�rac{3 + 2i}{1 - i} = �rac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = �rac{1 + 5i}{2} = �rac{1}{2} + �rac{5}{2}i

</math>

Geometrisk tolkning

Komplekse tall kan representeres som punkter i et koordinatsystem:

• Reell del langs <math>x</math>-aksen.
• Imaginær del langs <math>y</math>-aksen.

Polarform

Ethvert komplekst tall kan skrives som: <math>

z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)

</math> Der: <math>

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad 	heta = 	an^{-1} \left( �rac{b}{a} \right)

</math>

Eksempel: <math>

z = 1 + i \Rightarrow r = \sqrt{2}, \quad 	heta = �rac{\pi}{4}

</math>

Eulers formel og eksponentiell representasjon

Eulers formel: <math>

e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta

</math> Polarformen kan derfor skrives som: <math>

z = r e^{i	heta}

</math>

De Moivres teorem og røtter

De Moivres teorem: <math>

(\cos 	heta + i \sin 	heta)^n = \cos(n	heta) + i\sin(n	heta)

</math>

Generell formel for <math>n</math>-te røtter: <math>

z_k = r^{1/n} e^{i(	heta + 2\pi k)/n}, \quad k = 0, 1, ..., n-1

</math>

Eksempel: Kvadratroten av <math>i</math>: <math>

\sqrt{i} = e^{i\pi/4} = \pm \left(�rac{\sqrt{2}}{2} + i�rac{\sqrt{2}}{2} \right)

</math>

Tilbake til X hovedside

---