Lineær algebra

Lineær algebra er et område av matematikken som kommer dels fra vektorregningen og dels fra ligningssystemer.

Store ligningssystemer med mange ukjente er blitt mer og mer vanlig fordi vår teknologiske hverdag krever det og fordi vi nå har muligheten til å løse systemene i løpet av kort tid ved hjelp av en datamaskin.

Man må normalt ha like mange ligninger som ukjente.

---

Lineær Algebra

Lineær algebra er en gren av matematikken som omhandler vektorer, matriser og lineære transformasjoner. Dette fagfeltet er fundamentalt i mange vitenskaper, inkludert fysikk, datafag og ingeniørfag.

Vektorer

En vektor er en størrelse som har både retning og størrelse. For eksempel kan vi representere en vektor i det tredimensjonale rommet slik:

<math> \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix} </math>

Vi kan legge sammen to vektorer ved å addere deres respektive komponenter:

<math> \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} </math>

<math> \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1+4 \\ 2+5 \\ 3+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{bmatrix} </math>

Matriser

En matrise er et rektangulært oppsett av tall, for eksempel:

<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} </math>

Multiplikasjon av en matrise med en skalar gjøres ved å multiplisere hver komponent:

<math> 3A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} </math>

Multiplikasjon av to matriser utføres ved å ta skalarproduktet av radene i den første matrisen med kolonnene i den andre matrisen:

<math> B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} </math>

<math> AB = \begin{bmatrix} (1\cdot2 + 2\cdot1) & (1\cdot0 + 2\cdot3) \\ (3\cdot2 + 4\cdot1) & (3\cdot0 + 4\cdot3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} </math>

Invers av en Matrise

Å invertere en matrise betyr å finne en annen matrise som, når den multipliseres med den opprinnelige matrisen, gir identitetsmatrisen:

<math> A^{-1} A = I </math>

En matrise har en invers hvis og bare hvis dens determinant er ulik null.

For en \( 2 \times 2 \) matrise \( A \) gitt ved:

<math> A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} </math>

kan vi finne inversen ved:

<math> A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} </math>

hvor \( \det(A) = ad - bc \) må være ulik null.

• • Eksempel:**

For matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} </math>

blir determinanten:

<math> \det(A) = (1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) = -2 </math>

og inversen er:

<math> A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} </math>

• • Hvorfor invertere en matrise?**

1. **Løse lineære ligningssystemer:** Hvis \( Ax = b \), kan vi finne løsningen ved å multiplisere med \( A^{-1} \):

  <math> x = A^{-1}b </math>

2. **Transformasjoner:** Inversen brukes til å reversere lineære transformasjoner, for eksempel i datagrafikk og robotikk.

3. **Økonomi og statistikk:** Brukes i regresjonsanalyse og andre statistiske beregninger.

Lineære Ligningssystemer

Et system av lineære ligninger kan skrives som en matrise:

<math> \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 6 \end{cases} </math>

Dette kan skrives på matriseform som:

<math> \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix} </math>

Løsningen kan finnes ved å bruke Gauss-eliminasjon eller invers matrise-metoden.

Determinanter

Determinanten til en \( 2 \times 2 \) matrise er gitt ved:

<math> \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc </math>

For eksempel, for matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} </math>

blir determinanten:

<math> \det(A) = (1\cdot4 - 2\cdot3) = -2 </math>

Determinanter

Determinanten til en \( 2 \times 2 \) matrise er gitt ved:

<math> \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc </math>

For eksempel, for matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} </math>

blir determinanten:

<math> \det(A) = (1\cdot4 - 2\cdot3) = -2 </math>

• • Bruksområder for Determinanter:**

1. **Løse lineære ligningssystemer**: Determinanter brukes til å avgjøre om et system har en entydig løsning. Hvis determinanten til koeffisientmatrisen er null, er systemet enten inkonsistent eller har uendelig mange løsninger. 2. **Finne inversen av en matrise**: En matrise er inverterbar hvis og bare hvis dens determinant er ulik null. 3. **Geometrisk tolkning**: Determinanten av en \( 2 \times 2 \) eller \( 3 \times 3 \) matrise kan tolkes som arealet eller volumet av en parallellogram eller parallellpiped dannet av vektorene i matrisen. 4. **Transformasjoner og endringer i volum**: I datagrafikk og fysikk brukes determinanter til å forstå hvordan transformasjoner påvirker geometriske objekter.

• • Konkret eksempel:**

Anta at vi har en transformasjonsmatrise som skalerer områder i planet:

<math> T = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} </math>

Da er determinanten:

<math> \det(T) = (3 \cdot 4 - 1 \cdot 2) = 10 </math>

Dette betyr at en figur i planet som transformeres av \( T \) vil få sitt areal skalert med en faktor på 10.

• • Hvorfor er dette viktig?**

- **I fysikk**: Determinanter brukes for å beregne volumendringer under deformasjoner i elastisitetsteori. - **I maskinlæring**: Determinanter brukes til å vurdere om en matrise har en unik løsning i systemer av ligninger, noe som er viktig for å trene modeller. - **I datagrafikk**: Determinanter brukes til å forstå hvordan en transformasjon påvirker bildet eller modellen.

• • Determinanter og Vektorprodukt:**

Vektorproduktet (kryssproduktet) av to vektorer i \( \mathbb{R}^3 \) er definert ved hjelp av determinanter:

<math> \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} </math>

Dette utvides til:

<math> \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix} </math>

• • Geometrisk tolkning:** Kryssproduktet av to vektorer gir en tredje vektor som står vinkelrett på de to opprinnelige vektorene. Lengden av kryssproduktet tilsvarer arealet av parallellogrammet spent ut av de to vektorene.

• • Eksempel:**

La \( \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \) og \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} \), da er

<math> \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) \\ (3 \cdot 4 - 1 \cdot 6) \\ (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix} </math>

Dette betyr at vektoren \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) er vinkelrett på både \( \mathbf{a} \) og \( \mathbf{b} \), noe som er viktig i fysikk (f.eks. moment og elektromagnetisme) og datagrafikk.

Egenverdier og Egenvektorer

Egenverdier for en matrise \( A \) finnes ved å løse ligningen:

<math> \det(A - \lambda I) = 0 </math>

For matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} </math>

får vi karakteristisk ligning:

<math> \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(2-\lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 </math>

Løser vi for \( \lambda \), får vi egenverdiene \( \lambda_1 = 3 \) og \( \lambda_2 = 1 \).

Egenvektorer finnes ved å løse \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \) for hver egenverdi.

Egenverdier og Egenvektorer

En egenverdi \( \lambda \) og en egenvektor \( \mathbf{v} \) til en matrise \( A \) er definert ved ligningen:

<math> A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} </math>

Dette betyr at når matrisen \( A \) multipliseres med egenvektoren \( \mathbf{v} \), får vi tilbake en skalert versjon av \( \mathbf{v} \), der \( \lambda \) er skalaren.

• • Hvorfor er egenverdier og egenvektorer viktige?**

1. **Dynamiske systemer:** Egenverdier brukes til å analysere stabilitet og oppførsel til systemer over tid, for eksempel i fysikk og økonomi. 2. **Databehandling:** PCA (hovedkomponentanalyse) i maskinlæring bruker egenverdier for å redusere dimensjonalitet. 3. **Differensiallikninger:** Brukes til å finne løsninger av lineære differensiallikninger. 4. **Grafteori:** I nettverksanalyse brukes egenverdier til å forstå strukturer og forbindelser.

• • Eksempel:**

Gitt matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} </math>

Finn egenverdiene ved å løse determinantlikningen

<math> \det(A - \lambda I) = 0 </math>

<math> \begin{vmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (4 - \lambda)(1 - \lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 </math>

Løsningene gir egenverdier \( \lambda_1 = 3 \) og \( \lambda_2 = 2 \).

Tilhørende egenvektorer finnes ved å løse \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \).

Konklusjon

Lineær algebra er et kraftig verktøy som brukes i mange fagfelt. Vektorer, matriser og lineære ligninger er fundamentale konsepter som gir grunnlaget for mer avansert matematikk og anvendelser.