Lineær algebra

Lineær algebra er et område av matematikken som kommer dels fra vektorregningen og dels fra ligningssystemer.

Store ligningssystemer med mange ukjente er blitt mer og mer vanlig fordi vår teknologiske hverdag krever det og fordi vi nå har muligheten til å løse systemene i løpet av kort tid ved hjelp av en datamaskin.

Man må normalt ha like mange ligninger som ukjente.

---

Lineær Algebra

Lineær algebra er en gren av matematikken som omhandler vektorer, matriser og lineære transformasjoner. Dette fagfeltet er fundamentalt i mange vitenskaper, inkludert fysikk, datafag og ingeniørfag.

Vektorer

En vektor er en størrelse som har både retning og størrelse. For eksempel kan vi representere en vektor i det tredimensjonale rommet slik:

<math> \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix} </math>

Vi kan legge sammen to vektorer ved å addere deres respektive komponenter:

<math> \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} </math>

<math> \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1+4 \\ 2+5 \\ 3+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{bmatrix} </math>

Matriser

En matrise er et rektangulært oppsett av tall, for eksempel:

<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} </math>

Multiplikasjon av en matrise med en skalar gjøres ved å multiplisere hver komponent:

<math> 3A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} </math>

Multiplikasjon av to matriser utføres ved å ta skalarproduktet av radene i den første matrisen med kolonnene i den andre matrisen:

<math> B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} </math>

<math> AB = \begin{bmatrix} (1\cdot2 + 2\cdot1) & (1\cdot0 + 2\cdot3) \\ (3\cdot2 + 4\cdot1) & (3\cdot0 + 4\cdot3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} </math>

Lineære Ligningssystemer

Et system av lineære ligninger kan skrives som en matrise:

<math> \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 6 \end{cases} </math>

Dette kan skrives på matriseform som:

<math> \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix} </math>

Løsningen kan finnes ved å bruke Gauss-eliminasjon eller invers matrise-metoden.

Determinanter

Determinanten til en \( 2 \times 2 \) matrise er gitt ved:

<math> \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc </math>

For eksempel, for matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} </math>

blir determinanten:

<math> \det(A) = (1\cdot4 - 2\cdot3) = -2 </math>

Egenverdier og Egenvektorer

Egenverdier for en matrise \( A \) finnes ved å løse ligningen:

<math> \det(A - \lambda I) = 0 </math>

For matrisen

<math> A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} </math>

får vi karakteristisk ligning:

<math> \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(2-\lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 </math>

Løser vi for \( \lambda \), får vi egenverdiene \( \lambda_1 = 3 \) og \( \lambda_2 = 1 \).

Egenvektorer finnes ved å løse \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \) for hver egenverdi.

Konklusjon

Lineær algebra er et kraftig verktøy som brukes i mange fagfelt. Vektorer, matriser og lineære ligninger er fundamentale konsepter som gir grunnlaget for mer avansert matematikk og anvendelser.