Vektorer i rommet

En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet <tex>\mathbb{R^3}</tex>. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke <tex>\vec{r}=(x,y,z)</tex>, <tex>\vec{r}=\langle x,y,z\rangle</tex> eller <tex>\vec{r}=[x,y,z]</tex>. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er <tex>\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}</tex> der <tex>\vec{e_i}</tex> er enhetsvektor langs aksen <tex>i\in [x,y,z]</tex>. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen. Strengt tatt burde vi skrevet <tex>\vec{r}=(x,y,z)_{\mathcal{B}}</tex>, der <tex>\mathcal{B}</tex> angir hvilken basis vi uttrykker vektoren i, men her mener vi alltid standardbasisen, altså <tex>\mathcal{B}= \left {(1,0,0)\,,(0,1,0)\,,(0,0,1) \right}</tex>

En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av lengde, sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:

Lengden av en vektor i rommet

Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom <tex>\vec{v}=(x,y,z)</tex> er lengden definert som

<tex>|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</tex>

Vektorsum

Addisjon av vektorer foregår på samme måte som i planet, dvs. komponentvis. Vi har at

<tex>\vec{v}+\vec{v^\prime}=(x,y,z)+(x^\prime,y^\prime,z^\prime)=(x+x^\prime,y+y^\prime,z+z^\prime)</tex>

Multiplikasjon med skalar

Vi kan multiplisere en vektor med en skalar på samme måte som i planet:

<tex>k(x,y,z)=(kx,ky,kz)</tex> der <tex>k</tex> er en skalar.

Da ser vi at

<tex>|k\vec{v}|=|(kx,ky,kz)|=\sqrt{(kx)^2+(ky)^2+(kz)^2}=\sqrt{k^2(x^2+y^2+z^2)}=|k|\sqrt{x^2+y^2+z^2}=|k||\vec{v}|</tex>

Denne formelen kan anvendes for å forenkle utregninger gjennom å faktorisere ut felles faktorer i vektoren vi skal finne lengden av.

Skalarprodukt

La <tex>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</tex> og <tex>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</tex>. Da er skalarproduktet definert som

<tex>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2</tex>

Dette er ekvivalent med

<tex>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cdot \cos(\theta)</tex> der <tex>\theta</tex> er vinkelen mellom vektorene.

Merk at definisjonen medfører at skalarproduktet er kommutativt, dvs. at <tex>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=\vec{v_2}\cdot \vec{v_1}</tex>

En viktig observasjon er at dersom vi tar skalarproduktet med vektoren selv, får vi

<tex>\vec{v}\cdot \vec{v}=x^2+y^2+z^2=|\vec{v}|^2</tex>.

Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er <tex>\theta=0</tex>, og da er <tex>\cos(\theta)=\cos(0)=1</tex>.

Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)

I en mer generell kontekst er de euklidske vektorene et spesialtilfelle av et vektorrom over en kropp. Et vektorrom <tex>\mathcal{V}</tex> over <tex>\mathcal{F}</tex> er en mengde av elementer (vektorer) som tilfredsstiller et sett aksiomer. For alle <tex>r,s \in \mathcal{F}</tex> og alle <tex>u</tex>, <tex>v</tex> og <tex>w</tex> i <tex>\mathcal{V}</tex> gjelder:

1. Det fins en additiv identitet, <tex>0</tex>: <tex>u+0=u</tex>

2. Det fins en multiplikativ identitet, <tex>1</tex>: <tex>1u=u</tex>

3. Vektorrommet er lukket under skalarmultiplikasjon, i.e. <tex>ru</tex> er med i <tex>\mathcal{V}</tex> og <tex>r(su)=(rs)u</tex>.

4. Vektorrommet er lukket under addisjon, i.e. <tex>u+v</tex> er med i <tex>\mathcal{V}</tex>

5. Vektorrommet assosiativt, i.e. <tex>(u+v)+w=u+(v+w)</tex>

6. Vektorrommet er distributivt, i.e. <tex>r(u+v)=ru+rv</tex>

7. <tex>(r+s)u=ru+su</tex>

8. Vektorrommet er kommutativt, i.e. <tex>u+v=v+u</tex>

9. For alle <tex>u</tex> fins en <tex>w</tex> slik at <tex>u+w=0</tex>