Integrerende faktor

En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <tex>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>. En generell utledning er betimelig:

Vi starter med å gange ligningen med <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>:

<tex>f^,+A(x)f=B(x)\,\, \Rightarrow \,\, e^{\int A(x)\,dx}\, f^,\, +\,A(x)e^{\int A(x)\,dx}\, f\, =\, B(x)e^{\int A(x)\,dx}</tex>

Merk at <tex>A(x)e^{\int A(x)\,dx}\,\,\, = \left (e^{\int A(x)\,dx}\right )^, </tex>. For enkelhets skyld lar vi <tex>g=e^{\int A(x)\,dx}</tex>. Da blir ligningen

<tex>gf^,+g^,f=Bg</tex>

Venstresida er nå lik <tex>(gf)^,</tex> der vi har brukt produktregelen for derivasjon.

Eksempel

La oss se på førsteordensligningen <tex>f^,+f=0</tex>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <tex>e^x</tex> får vi <tex>e^xf^,+e^xf=0</tex>. Ligningen kan nå omskrives til <tex>(e^xf)^,=0</tex>. Bruker vi Leibniz' notasjon kan vi skrive dette som <tex>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </tex>. Så vi må ha at <tex>e^xf</tex> er konstant, i.e. <tex>e^xf=c</tex>. Ganger vi med <tex>e^{-x}</tex> får vi at løsningen er <tex>f(x)=ce^{-x}. </tex>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.