Integrerende faktor: Forskjell mellom sideversjoner

Sideversjonen fra 6. feb. 2010 kl. 14:23

En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <tex>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>. En generell utledning er betimelig:

Vi starter med å gange ligningen med <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>:

<tex>f^,+A(x)f=B(x)\,\, \Rightarrow \,\, e^{\int A(x)\,dx}\, f^,\, +\,A(x)e^{\int A(x)\,dx}\, f\, =\, B(x)e^{\int A(x)\,dx}</tex>

Nå observerer vi at venstresida kan omskrives ved hjelp av produktregelen for derivasjon:

Eksempel

La oss se på førsteordensligningen <tex>f^,+f=0</tex>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <tex>e^x</tex> får vi <tex>e^xf^,+e^xf=0</tex>. Ligningen kan nå omskrives til <tex>(e^xf)^,=0</tex>. Bruker vi Leibniz' notasjon kan vi skrive dette som <tex>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </tex>. Så vi må ha at <tex>e^xf</tex> er konstant, i.e. <tex>e^xf=c</tex>. Ganger vi med <tex>e^{-x}</tex> får vi at løsningen er <tex>f(x)=ce^{-x}. </tex>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
-En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <tex>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>.
+En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <tex>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>. En generell utledning er betimelig:
+Vi starter med å gange ligningen med <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>:
+:<tex>f^,+A(x)f=B(x)\,\, \Rightarrow \,\, e^{\int A(x)\,dx}\, f^,\, +\,A(x)e^{\int A(x)\,dx}\, f\, =\, B(x)e^{\int A(x)\,dx}</tex>
+Nå observerer vi at venstresida kan omskrives ved hjelp av produktregelen for derivasjon:
+: