Vektorer i rommet

En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet <tex>\mathbb{R^3}</tex>. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke <tex>\vec{r}=(x,y,z)</tex>, <tex>\vec{r}=\langle x,y,z\rangle</tex> eller <tex>\vec{r}=[x,y,z]</tex>. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er <tex>\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}</tex> der <tex>\vec{e_i}</tex> er enhetsvektor langs aksen <tex>i\in [x,y,z]</tex>. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen. Strengt tatt burde vi skrevet <tex>\vec{r}=(x,y,z)_{B}</tex>, der B angir hvilken basis vi uttrykker vektoren i, men her mener vi alltid standardbasisen, altså <tex>\vec{e_x}=(1,0,0)</tex>, <tex>\vec{e_y}=(0,1,0)</tex> og <tex>\vec{e_z}=(0,0,1)</tex>

En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:

Vektorsum

<tex>\vec{v}+\vec{v^\prime}=(x,y,z)+(x^\prime,y^\prime,z^\prime)=(x+x^\prime,y+y^\prime,z+z^\prime)</tex>

Multiplikasjon med skalar

<tex>k(x,y,z)=(kx,ky,kz)</tex> der <tex>k</tex> er en skalar.

Skalarprodukt

La <tex>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</tex> og <tex>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</tex>. Da er skalarproduktet definert som

<tex>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=</tex>