R1 2014 høst LØSNING

• Løsning fra NDLA
• Diskusjon av denne oppgaven
• Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.
  

Feil i løsningsforslag:
Del 1 2a: Snek seg inn en trykkfeil for det skal stå +2x og ikke -2x i andregradspolynomet.
Del 2 4b forsvant i farten: Løs likningen T(x)=16/2 som gir x=1 og x=2.

Oppgave 1

a)

$f(x)=5x^3-2x^2+5 \\ f ` (x)=15x^2-4x$

b)

$g(x)= x^2 \cdot e^x \\ g`(x) = 2xe^x+ x^2e^x= xe^x(2+x)$

Oppgave 2

a)

Her må vi prøve oss fram. Det lønner seg å begyne med det enkleste muligheter først. Man observerer at P(1) = 0 og vet da at P er delelig på (x-1):

$ \quad x^3+x^2-10x+8 : (x-1) = x^2+2x - 8 \\-(x^3-x^2) \\ \quad \quad \quad 2x^2-10x \\ \quad \quad -(2x^2-2x) \\ \quad \quad\quad \quad \quad -8x+8$

Ved å faktorisere andregradspolynomet får man røtter for x= -4 og x =2.

P faktorisert: ( x - 1) (x - 2)(x + 4).

b)

$ P(x)\leq 0 \\ x \in < \leftarrow, -4] \cup [1,2]$

Oppgave 3

a)

$L = 10 \cdot lg (\frac{I}{I_0}) \\ L = 10 (lg I - lg I_0) \\ L =10(lgI - lg 10^{-12}) \\ L = 10 lg I + 120 $

b)

$ L = 10 lg I + 120 \\ L = 10 \cdot lg 10^{-4}+120 \\ L = 80 $

Det er 80 db på arbeidsplassen.

c)

$L = 10 lg I + 120\\ 100 - 10lgI +120 \\ lg! =-2 \\ I = 10^{-2} $

Det svarer til $10^{-2} W/m^2$

Oppgave 4

a)

b)

$f´(x)= \frac{2(x-1)-(2x-4)}{(x-1)^2} = \frac {2}{(x-1)^2}$

c)

$f(2)=0 \\ f´(2)=2 \\ y=ax+b \\ 0 = 2 \cdot 2 + b \\ b= -4 \\ y=2x-4$

Oppgave 5

a)

Stigningstallet til linjen y= ax + b er a. Dvs. hvor mye man går opp eller ned på y aksen når man går en enhet til høyre på x- aksen, for å treffe linjen igjen. Det er nettopp det v vektor gjør.

b)

Dersom linjen står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet mellom rettningsvektorene lik null.

$[1, a_1][1,a_2] = 0 \\ 1 + a_1 \cdot a_2= 0 \\ a_1 \cdot a_2=-1$

Oppgave 6

$ \frac 23 \cdot ( \frac 34)^{x^2-x} = \frac 38 \\ ( \frac 34)^{x^2-x} = ( \frac 34)^2 \\ x^2-x-2=0 \\ x= -1 \vee x= 2$

Oppgave 7

a)

$A_{ABCD} = a^2$

Lengden AC = $ \sqrt 2 a$

Areal stort kvadrat blir da:

$A_{AEFC} = ( \sqrt 2 a)^2 = 2 a^2$

Det store kvadratet har dobbelt så stort areale som det lille. Dett kan vi se lett ved geometriske betraktninger, siden ACD er lik BFC.

b)

Avsett et linjestykke AB = 10 cm. Kosntruer midtnormalen til AB, CD, slik at C ligger 5 cm under AB og D ligger 5 cm over linjestykke AB. Du har nå to diagonaler, AB og CD, begge på 10 cm. Disse utspenner et kvadrat ABCD på $50 cm^2$

Oppgave 8

$f(x) = x^3-x \\ f'(x)= 3x^2-1 \\ f'(x)= lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+ \Delta x)^3-(x+ \Delta x) - (x^3 - x)}{\Delta x}= \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+ 2x \Delta x +( \Delta x)^2)(x + \Delta x)-x- \Delta x - x^3 + x)}{\Delta x} = \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^3+2x^2 \Delta x +x( \Delta x)^2+x^2 \Delta x +2x( \Delta x)^2+( \Delta x)^3 - \Delta x - x^3}{\Delta x} = \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \Delta x( 2x^2 + x \Delta x + x^2 +2x \Delta x + ( \Delta x)^2 - 1)}{\Delta x} = \\ 2x^2+x^2 - 1 = \\ 3x^2-1 $

Oppgave 1

a)

b)

Dersom t blir stor ser man at det siste leddet i funksjonsuttrykket går mot null og f går mot 2,5.

Oppgave 2

a)

Primtall er tall som kun er delleligge med seg selv og en: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, og 23.

Oppgave 6

a)

Vinkel BAS er lik vinkel ABS. Vi kaller dem for x:

$u+2x =180 \\ 2x= 180-u \\ x = 90 - \frac u2$

b)

AS er radien i sirkelen og står følgelig vinkelrett på tangenten i A:

$v + 90 - \frac u2 = 90 \\ v = \frac u2$

Oppgave 7

a)

$f(x)= \frac uv \quad \quad u>0, \quad v>0 \\ (\ln f(x))´ = \frac 1u \cdot u´- \frac 1v \cdot v´= \frac{u´v-vú}{uv}$

b)

Vi husker resultatet fra oppgave a.

$( \frac uv)´ = (e^{\ln \frac uv})´ = e^{\ln \frac uv} \cdot \frac{u´v-vú}{uv} =\frac uv \cdot \frac{u´v-v`u}{uv} = \frac{uv´- v`u}{v^2}$