S2 2015 høst LØSNING

a)

$f(x)=x^3+2x \\ f'(x)=3x^2+2$

b)

$g(x)=3e^{2x-1} \\ g'(x)=3e^{2x-1} \cdot (2x-1)'=6e^{2x-1}$

c)

$h(x)=x^2 \cdot e^x \\ h'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)$

a)

$f(x)=x^3+3x^2-9x \\ f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3)$

Alternativt kan $f'(x)$ faktoriseres med ABC-formelen

Toppunkt: $T=(-3,f(-3))=(-3,-27+27+27)=(-3,27)$

Bunnpunkt: $B=(1,f(1))=(1,1+3-9)=(1,-5)$

b)

$ f ' ' (x)=6x+6=6(x+1) $

$6(x+1)=0$

$x=-1$

Vendepunkt: $V=(-1,f(-1))=(-1,-1+3+9)=(-1,11)$

c)

Utifra nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkt og fortegnslinja til $f'(x)$ skal man kunne klare å lage en god skisse.

a)

$x^3-ax^2+2ax-8$ er alltid delelig med $(x-2)$ siden $2^3-2^2a+4a-8=0$

b)

Forkorter med polynomdivisjon.

Oppgave 4

$ (1); \ x+2y-z=2 \\ (2); \ 2x-y+z=3 \\ (3); \ 3x-2y+2z=2 $

Her kan man bruke innsetingsmetoden eller adderingsmetoden. Jeg bruker adderingsmetoden. Fra $(1)$ og $(2)$.

$(4); \ (x+2y-z)+(2x-y+z)=3x+y=5$

Fra $(2)$ og $(3)$.

$-2(2x-y+z)+(3x-2y+2z)=-x=-2\cdot3+2=-4$

$x=4$

Fra (4). $y=5-3 \cdot 4=-7$

Fra (1). $z=x+2y-2=4+2\cdot-7-2=-12 $

$x=4 \ , \ y=-7 \ \ , \ z=-12 $