Integrasjon II

Dobbelintegrasjon: Grunnleggende prinsipper og anvendelser

Dobbelintegrasjon brukes for å beregne volum under en overflate, finne masse av tynne plater med variabel tetthet, og løse visse typer differensiallikninger. En dobbelintegral er av formen:

\[ \int_a^b \int_c^d f(x, y) \, dy \, dx \]

Her integrerer vi først over <math> y </math>-variabelen og deretter over <math> x </math>-variabelen.

Eksempel 1: Beregning av areal

Vi ønsker å finne arealet av et område gitt ved <math> 0 \leq x \leq 2 </math> og <math> 0 \leq y \leq 3 </math>. Funksjonen vi integrerer er <math> f(x, y) = 1 </math>, fordi integrasjon av 1 gir areal.

<math> A = \int_0^2 \int_0^3 1 \, dy \, dx </math>

Utfører vi den indre integrasjonen:

<math> \int_0^3 1 \, dy = y \Big|_0^3 = 3 </math>

og deretter den ytre:

<math> \int_0^2 3 \, dx = 3x \Big|_0^2 = 6 </math>

Så arealet er <math> 6 </math> kvadrat-enheter.

Eksempel 2: Beregning av volum under en overflate

La oss finne volumet under funksjonen <math> f(x,y) = x + y </math> over området <math> 0 \leq x \leq 1 </math>, <math> 0 \leq y \leq 2 </math>:

<math> V = \int_0^1 \int_0^2 (x + y) \, dy \, dx </math>

Integrerer først med hensyn til <math> y </math>:

<math> \int_0^2 (x + y) \, dy = xy + �rac{y^2}{2} \Big|_0^2 = 2x + 2 </math>

Integrerer så med hensyn til <math> x </math>:

<math> \int_0^1 (2x + 2) \, dx = x^2 + 2x \Big|_0^1 = 1 + 2 = 3 </math>

Så volumet er <math> 3 </math> kubikkenheter.

Eksempel 3: Masseberegning med variabel tetthet

Vi har en plate definert på området <math> 0 \leq x \leq 1 </math> og <math> 0 \leq y \leq 1 </math>, med tetthet gitt ved <math> ho(x, y) = x^2 + y^2 </math>. Massens uttrykk blir:

<math> M = \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2) \, dy \, dx </math>

Først integrerer vi med hensyn til <math> y </math>:

<math> \int_0^1 (x^2 + y^2) \, dy = x^2y + �rac{y^3}{3} \Big|_0^1 = x^2 + �rac{1}{3} </math>

Så integrerer vi med hensyn til <math> x </math>:

<math> \int_0^1 (x^2 + �rac{1}{3}) \, dx = �rac{x^3}{3} + �rac{x}{3} \Big|_0^1 = �rac{1}{3} + �rac{1}{3} = �rac{2}{3} </math>

Så massen er <math> �rac{2}{3} </math> masse-enheter.

Trippelintegrasjon

En trippelintegral brukes til å beregne volum i rommet eller masse i et tredimensjonalt objekt. Generelt har vi:

<math> \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x, y, z) \, dz \, dy \, dx </math>

Her integrerer vi først over <math> z </math>, deretter <math> y </math>, og til slutt <math> x </math>.

Eksempel 4: Beregning av volum i en kube

Vi ønsker å finne volumet av en kube med sidelengde 1, altså området <math> 0 \leq x \leq 1 </math>, <math> 0 \leq y \leq 1 </math>, <math> 0 \leq z \leq 1 </math>. Vi setter <math> f(x, y, z) = 1 </math>.

<math> V = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 1 \, dz \, dy \, dx </math>

Integrerer først med hensyn til <math> z </math>:

<math> \int_0^1 1 \, dz = z \Big|_0^1 = 1 </math>

Deretter med hensyn til <math> y </math>:

<math> \int_0^1 1 \, dy = y \Big|_0^1 = 1 </math>

Til slutt med hensyn til <math> x </math>:

<math> \int_0^1 1 \, dx = x \Big|_0^1 = 1 </math>

Så volumet er <math> 1 </math> kubikkenhet.

Konklusjon

Dobbelintegrasjon er et kraftig verktøy for å finne arealer, volum og masse i fysikk og matematikk. Den lar oss analysere hvordan en funksjon oppfører seg over et todimensjonalt område.

Forskjellen mellom dobbel og trippel integrasjon for volum

Både dobbel integrasjon og trippel integrasjon kan brukes til å beregne volum, men de anvendes i ulike situasjoner avhengig av hvordan volumet er beskrevet.

• **Dobbel integrasjon** brukes når volumet kan beskrives som området under en funksjon \( z = f(x,y) \) over et gitt område i planet.
• **Trippel integrasjon** brukes når volumet må beskrives i hele rommet, dvs. når man jobber med en funksjon \( f(x,y,z) \) innenfor et tredimensjonalt område.

Dobbel integrasjon brukes altså når høyden \( z \) kan uttrykkes eksplisitt som en funksjon av \( x \) og \( y \), mens trippel integrasjon er nødvendig når volumet har en mer kompleks struktur i tre dimensjoner.

Eksempler på dobbel integrasjon

Eksempel 1: Volumet under en paraboloide

Finn volumet av området under paraboloiden \( z = 4 - x^2 - y^2 \) over sirkelskiven \( x^2 + y^2 \leq 4 \).

Løsning: Vi bruker polarkoordinater: \[ V = \iint_D (4 - x^2 - y^2) \, dA \] I polarkoordinater (\( x = r\cos\theta \), \( y = r\sin\theta \)): \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \]

Eksempel 2: Volum mellom to flater

Finn volumet mellom flatene \( z = x^2 + y^2 \) og \( z = 2 - x^2 - y^2 \) over området \( x^2 + y^2 \leq 1 \).

Løsning: Volumet er gitt ved integralet: \[ V = \iint_D [(2 - x^2 - y^2) - (x^2 + y^2)] \, dA \] I polarkoordinater: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2 - 2r^2) r \, dr \, d\theta \]

Eksempler på trippel integrasjon

Eksempel 3: Volum av en kule

Finn volumet av en kule med radius \( R \), gitt ved \( x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 \).

Løsning: Bruk kulekoordinater (\( x = r\sin\theta\cos\phi \), \( y = r\sin\theta\sin\phi \), \( z = r\cos\theta \)): \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]

Eksempel 4: Volum av et tetraeder

Finn volumet av tetraederet med hjørner i \( (0,0,0) \), \( (a,0,0) \), \( (0,b,0) \) og \( (0,0,c) \).

Løsning: Integrasjonsgrenser bestemmes av planlikningen \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \), så volumet er: \[ V = \int_0^a \int_0^{b(1 - x/a)} \int_0^{c(1 - x/a - y/b)} dz \, dy \, dx \]